Question

Fatore a expressão:
y= sen 2x + 2*cos x

Resposta do livro sem explicação, vou anexar para não ficar confusa minha escrita.

Answer 1

Eu pensei assim:

$\mathtt{sen(2x)+2cos(x)=2.sen(x).cos(x)+2cos(x)}$

colocando 2cos(x) em evidência temos

$\mathtt{2cos(x)(sen(x)+1)}$

note que

$\mathtt{1=sen(\dfrac{\pi}{2})}$

substituindo temos

$\mathtt{2cos(x)(sen(x)+sen(\dfrac{\pi}{2}))}$

usando a fórmula da transformação do seno em produto

$sen(m)+sen(n)=2.sen(\dfrac{m+n}{2}).cos(\dfrac{m-n}{2})$

temos

$\mathtt{2cos(x)\,\huge(2.sen(\dfrac{x+\frac{\pi}{2}}{2})cos(\dfrac{x-\frac{\pi}{2}}{2})\huge)}$

lembre-se que dividir por 2 é o mesmo que multiplicar por $\frac{1}{2}$

daí

$\mathtt{2cos(x).(2.sen(\dfrac{1}{2}(x-\frac{\pi}{2}))}.cos(\dfrac{1}{2}(x-\frac{\pi}{2}))}$

o dois que está dentro do parênteses irá multiplicar o dois que está fora do parênteses e simultâneamente o $\frac{1}{2}$ que está dentro do seno e do cosseno irá multiplicar o x é o $\frac{\pi}{2}$

desse modo a expressão resultante será

$\mathtt{4cos(x).sen(\dfrac{x}{2}+\dfrac{\pi}{4}).cos(\dfrac{x}{2}-\dfrac{\pi}{4})}$