Question

Envistigue qual a multiplicidade zero 2 do polinomio P(x) = X⁴‐ X³‐6X²+ 4X+8

Answer 1

Podemos fazer de duas formas

1ª forma : Fatorando.

Se 2 é raiz de P(x), então vamos colocar (x-2) em evidência :

$\sf x^4-x^3-6x^2+4x+8 = 0 \\\\ x^4-2x^3+x^3-2x^2-4x^2+8x-4x+8 = 0 \\\\ x^3(x-2)+x^2(x-2)-4x(x-2)-4(x-2) = 0 \\\\ (x-2)(x^3+x^2-4x-4) = 0 \\\\ (x-2)\left [x^2(x+1)-4(x+1) \right] = 0 \\\\ (x-2)(x+1)(x^2-4) = 0 \\\\ x-2=0\to x = 2 \\\\ x+1=0 \to x =-1 \\\\ x^2-4=0 \to x=+ 2 \ , \ -2 \\\\ \huge\boxed{\sf \ x=2 \ tem\ multiplicidade \ 2 }\checkmark$

2ª forma : Derivando

Se A é raiz de P(x) e tem multiplicidade 2, então :

$\sf P(A) = 0 \ \ \ ;\ \ \ P'(A) = 0$

E se A tem multiplicidade 3, então  :

$\sf P(A) = 0 \ \ \ ;\ \ \ P'(A) = 0 \ \ \ ; \ \ \ P''(A) = 0$

E se A tem multiplicidade n, então :

$\sf P(A) = 0 \ \ \ ;\ \ \ P'(A) = 0 \ \ \ ; \ \ \ P''(A) = 0 \ \ \ ; \ \ \ P^{''''...'''' ( n \ vezes) }(A) = 0$

Temos  :

$\sf P(x) = x^4-x^3-6x^2+4x+8$ e 2 é raiz, vamos derivar e ver se 2 tem multiplicidades.

Derivando :

$\sf P'(x) = (x^4-x^3-6x^2+4x+8)' \\\\ P'(x) = 4x^3-3x^2-12x+4 \\\\ P'(2) = 4\cdot 2^3-3\cdot 2^2-12\cdot 2 +4 \\\\ P'(2) = 32-12-24+4 \\\\ P'(2) = 32-36+4 \\\\ P'(2) = 0$

Logo x=2 é raiz de multiplicidade 2.

Fazendo o teste para ver se tem multiplicidade 3 :

$\sf P''(x) = (4x^3-3x^2-12x+4 )' \\\\ P''(x) = 12x^2-6x-12 \\\\ P''(2) = 12\cdot 2^2-6\cdot 2-12 \\\\ P''(2) = 48-12-12 \\\\ P''(2) = 48-24 \\\\ P''(2) \neq 0$

Portanto, de fato só tem multiplicidade 2