encontre os valores de x para quais mdc (20+x,x)=4
Soluções para a tarefa
Resposta:
Explicação passo-a-passo:
Observa-se primeiramente que X precisa ser um múltiplo de 4, isto é obrigatório pois para algo ser divisível por 4 precisa ser múltiplo de 4.
A segunda observação é que se fatorarmos (20+x) e X, os dois números não podem nem ter fatores primos maiores que 3 ao mesmo tempo, nem expoentes do fator 2 maior que 2 ao mesmo tempo.
Obviamente x=4 é solução.
20+x sempre poderá ser escrito na forma (5.4 + n.4) onde n.4 = x
ou seja, 20+x = 4(5+n).
mdc{(4(5+n)),(4n)} = 4
Trata-se de encontrar os valores de 5+n e n para os quais 5+n e n não tenham divisores em comum.
Note que nenhum número ímpar pode ser múltiplo de um número par. Para qualquer n par que escolhemos, 5+n será ímpar. Se escolhermos um n que seja múltiplo de 5, n+5 também será e 5 será um divisor maior que 4, fazendo com que 4 não seja o mdc(). Mas, realizando uma análise mais completa:
Para qualquer n ímpar não múltiplo de 5, n+5 não será múltiplo de n. É óbvio para ímpares maiores que 5 porque um múltiplo de um número m não pode estar entre m e 2m. Se n é maior que 5, seu próximo múltiplo estará a mais de 5 casas de distância, portanto n+5 não será múltiplo e logo não terá divisor comum.
Agora, para n ímpares menores que 5 não precisamos nos preocupar pois só temos o 3, que é menor que 4, então 4 continuará sendo o mdc(), além disso, como 5 não deixa resto zero na divisão por 3, para n múltiplo de 3, n+5 nunca será múltiplo de 3 também.
Assim, concluímos que:
Qualquer X = 4.N em que N não seja múltiplo de 5 satisfaz a condição.