Question

Duas irmãs receberam como herança um terreno na forma do quadrilátero ABCD, representado abaixo em um sistema de coordenadas. Elas pretendem dividi-lo, construindo uma cerca reta perpendicular ao lado AB e passando pelo ponto P = (a,0) . O valor de a para que se obtenham dois lotes de mesma área é:

Answer 1

Resposta:

5 - 2$\sqrt{2}$

Explicação passo-a-passo:

1 Passo:

- Calcule o valor dos lados do quadrilátero a partir das cordenadas:

       .Use Pitágoras para calcular os lados BC, CD e DA.

       .Para o lado AB é fácil, apenas subtraia 5 de 1.

       ..Dessa forma, obtem-se AB=4, BC=3$\sqrt{2$ , CD=2$\sqrt{2$ e DA=$\sqrt{2$.

2 Passo:

- Tendo os valores em mãos, calcule a área do quadrilátero:

       .Para isso, eu o separei num triângulo e num retângulo, calculei a área de cada um e as somei.

       ..Como resultado da soma, a área total do quadrilátero é 8$u^{2}$ (deu 4$u^{2}$ do triang e 4$u^{2}$ do retang).

3 Passo:

- Sabendo do valor da área (8$u^{2}$), sabemos que cada irmã receberá um terreno de 4$u^{2}$, portanto, para facilitar as contas (sabendo que o terreno será dividido na perpendicular do eixa das abiscissas, formando um quadrilátero estranho na esquerda e um triâgulo na direita), vamos calcular o valor dos lados desse triângulo sabendo que sua área equivale a 4$u^{2}$:

       .Primeiro, devemos analisar o triângulo formado ao traçar uma linha perpendicular ao eixo x (abscissas) que passa pelo ponto C (2, 3):

       ..Dessa maneira podemos perceber que o triângulo formado é um triang retângulo e tem catetos iguais ( 3u e 3u).

       ...Com isso, concluimos que o triângulo formado que corresponde ao terreno de uma das irmãs tem lados iguais ( x e x ).

4 Passo:

- Sabendo que o terreno triângular tem uma área de 4$u^{2}$ e seus lados medem ambos x, calculamos:

A = 4$u^{2}$

.a = x

.b = x

> a = b

A = a . b / 2

4 = x . x / 2

x . x = 8

$x^{2}$ = 8

x = 2$\sqrt{2}$

5 e ÚLTIMO PASSO:

- Por fim, como a base do triângulo (assim como a altura) mede 2$\sqrt{2}$, concluímos que, como ele se encontra no canto direiro do terreno herdado:

       .Subtraímos de 5 (cordenada do ponto direito do terreno herdado) o valor 2$\sqrt{2}$.

RESULTADO: 5 - 2$\sqrt{2}$.