Question

Divisibilidade por 7

Uma maneira de verificar se um número é divisível por 7 é subtrair, do número formado

pelos algarismos restantes após a retirada do algarismo das unidades, o dobro do alga-
rismo das unidades, verificando se este número é divisível por 7. Por exemplo, 336 é divi-
sível por 7, pois 33−2·6 = 21 é divisível por 7, mas 418 não é pois, 41−2·8 = 25 deixa resto

4 na divisão por 7.
a) Utilize este método para verificar se 4.578 é divisível por 7.
b) Se A e B são algarismos, quantos são os números de três algarismos do tipo AB5 que
são divisíveis por 7?

Answer 1

a)

• $\sf457 - 2 - 8 = 441 - 44 - 2 - 1=\blue4\blue2$

Que é divisível por 7, então 4.578 também é divisível por 7.

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b)

Como AB5 tem três algarismos, então A ≠ 0. Além disso, AB - 14, pela regra de divisibilidade, é múltiplo de 7 e, consequentemente, AB deve ser múltiplo de 7 pois 14 é. ou seja AB pode ser qualquer elemento do conjunto.

• $\sf14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98$

Portanto, são 13 números.

Answer 2

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☞ a) 4.578 é divisível por 7; b) 13 números. ✅

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Ⓐ$\bf\large\red{\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad}}$✍

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☔ Oi, Kawe. Pelo método proposto temos que:

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$\LARGE\blue{\sf 457 - 2 \cdot 8}$

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$\LARGE\blue{\sf = 457 - 16 }$

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$\LARGE\blue{\sf = 441 }$

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☔ Como ainda temos um número grande, podemos aplicar novamente o mesmo método:

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$\LARGE\blue{\sf 44 - 2 \cdot 1}$

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$\LARGE\blue{\sf = 44 - 2 }$

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$\LARGE\blue{\sf = 42 }$

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☔ Apesar de sabermos que 42 é divisível por 7 (resultando em 6) podemos aplicar o método uma última vez de tal forma que nosso resultado será 0 caso 42 seja divisível por 7:

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$\LARGE\blue{\sf 4 - 2 \cdot 2}$

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$\LARGE\blue{\sf = 4 - 4 }$

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$\LARGE\blue{\sf = 0 }$

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☔ Portanto sabemos que 4.578 é divisível por 7.  ✅

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Ⓑ$\bf\large\red{\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad}}$✍

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☔ A ocupa o valor posicional das centenas e B ocupa o valor posicional das dezenas, porém ao anularmos o valor posicional das unidades acabamos por dividir todos os outros por 10, ou seja, reduzir uma ordem de grandeza posicional: A agora representa o valor posicional das dezenas e B representa o valor posicional das unidades:

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$\LARGE\blue{\sf A \cdot 10 + B - 2 \cdot 5}$

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☔ Cientes de que a operação acima resultará em um número com duas casas decimais no máximo (se A e B forem 9 teremos então 99 - 10 = 89) então o que nos resta descobrir é: quantos múltiplos de sete menores (ou igual) à 89 existem?

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$\LARGE\blue{\sf \dfrac{89}{7} = 12,\overline{714285} }$

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☔ Apesar de termos encontrado 12 divisores inteiros, ao total de múltiplos sempre adicionaremos 1, que é justamente o zero (múltiplo de todos os inteiros). Isto nos resulta em 13 múltiplos inteiros, ou seja, teremos 13 números de três algarismos e de último algarismo 5 que são divisíveis por 7. ✅

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• "- Mas quais seriam eles?"

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☔ Sendo os múltiplos de 7 menores que 89 iguais a {0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84} e sabendo que de AB foi subtraído 10, então temos que AB pode assumir os seguintes valores: 10, 17, 24, 31, 38, 45, 52, 59, 66, 73, 80, 87 e 94. Isso nos resulta nos seguintes 13 números de 3 algarismos divisíveis por 7 e de final 5:

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⠀ ⠀ 105 (= 7 × 15)

⠀ ⠀ 175 (= 7 × 25)

⠀ ⠀ 245 (= 7 × 35)

⠀ ⠀ 315 (= 7 × 45)

⠀ ⠀ 385 (= 7 × 55)

⠀ ⠀ 455 (= 7 × 65)

⠀ ⠀ 525 (= 7 × 75)

⠀ ⠀ 595 (= 7 × 85)

⠀ ⠀ 665 (= 7 × 95)

⠀ ⠀ 735 (= 7 × 105)

⠀ ⠀ 805 (= 7 × 115)

⠀ ⠀ 875 (= 7 × 125)

⠀ ⠀ 945 (= 7 × 135)

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✋ Observe que poderíamos ter feito esta análise sem utilizar o algoritmo inicial, dividindo 999/7, encontrando 142 divisores inteiros, ou seja, 143 múltiplos, sendo que somente o produto de 7 por números de final 5 resultam em outro número de final 5 divisíveis por 7, ou seja, de 15 (pois 7*5 = 35, um número de 2 algarismos) até 135, o que nos retorna a informação de que entre 15 e 135 existem 13 números de final 5.

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$\bf\large\red{\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$☁

☕ $\bf\Large\blue{Bons\ estudos.}$

($\orange{D\acute{u}vidas\ nos\ coment\acute{a}rios}$) ☄

$\bf\large\red{\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad }}\LaTeX$✍

❄☃ $\sf(\gray{+}~\red{cores}~\blue{com}~\pink{o}~\orange{App}~\green{Brainly})$ ☘☀

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$\gray{"Absque~sudore~et~labore~nullum~opus~perfectum~est."}$