Question

Distribuição binomial

Determine a probabilidade de, em cinco jogadas de uma moeda, aparecer:
a) Quatro caras
b) Três coroas e duas caras
c) Ao menos duas caras
d) No máximo duas coroas

Se há uma probabilidade de 0,20 de que uma pessoa viajando em certa rota aérea solicite um jantar vegetariano, qual a probabilidade de que três entre 10 passageiros daquela rota optem por um jantar vegetariano?

Answer 1

Olá lucas!

A probabilidade pela distribuição binomial se resolve da seguinte maneira.

Acharemos os valores de q e p e o valor de "K" e "n"

p é a probabilidade de ocorrer sucesso.

q é a probabilidade de fracasso.

k é a quantidade de acontecimentos que queremos

n é o valor máximo de acontecimentos
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Sempre o valor de q será igual a → 1- p



A)

Formula binomial:

$P(X=k) = Cn,k*p^k*q^n^-^k$

Queremos que saia 4 coroas 
.
E sabemos que a probabilidade da moeda é 1/2 tanto para p quanto para q.

$\\ P(X = 4) = C5,4*( \frac{1}{2} )^4* (\frac{1}{2} )^5^-^4 \\ \\ P(X = 4) = \frac{5!}{(5-4)!4!} * \frac{1}{2^4} * \frac{1}{2^1} \\ \\ P(X = 4) = \frac{5*4!}{1!4!} * \frac{1}{2^5} \\ \\ P(X = 4) = 5* \frac{1}{32} \\ \\ P(X = 4) = \frac{5}{32}$

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B)


Como a questão quer dois eventos "E" ← multiplicaremso duas probabilidades.


P(C∩K) =

$\\ P(X=3)*P(X=2) = C5,3*p^3q^5^-^3*C5,2*p^2q^5^-^2 \\ \\ = \frac{5!}{(5-3)!3!} *( \frac{1}{2} )^3 (\frac{1}{2} )^2* \frac{5!}{(5-2)!2!} * (\frac{1}{2} )^2( \frac{1}{2} )^3 \\ \\ = \frac{5*4*3!}{2!3!} * \frac{1}{2^3} * \frac{1}{2^2} * \frac{5*4*3!}{3!2!} * \frac{1}{2^2} * \frac{1}{2^3} \\ \\ =10* \frac{1}{2^5} *10 *\frac{1}{2^5} \\ \\ = \frac{100}{2^1^0}$

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C)

Ao menos duas caras significa que:



$P(X \geq 2) = 1 - P( X \ \textless \ 2)$

Calcularemos primeiramente P(X < 2) e depois subtrairemos de "1"


$P(X\ \textless \ 2) = P(X=0)+P(X=1)$


$\\ P(X=0) = C5,0*p^0q^5^-^0 \\ \\ P(X=0) = 1*( \frac{1}{2} )^0*( \frac{1}{2} )^5 \\ \\ P(X=0) = \frac{1}{32}$

Agora P(X=1)

$\\ P(X=1) = C5,1*p^1q^5^-^1 \\ \\ P(X=1) = \frac{5!}{(5-1)!1!} *( \frac{1}{2} )^1( \frac{1}{2} )^4 \\ \\ P(X=1) = \frac{5*4!}{4!} *\frac{1}{2^5} \\ \\ P(X=1) = \frac{5}{32}$

Logo teremos:


$\\ P(X \geq 2) = 1 -P(X\ \textless \ 2) \\ \\ P(X \geq 2) = 1 - ( \frac{1}{32} + \frac{5}{32} ) \\ \\ P(X \geq 2) = 1 - ( \frac{6}{32} ) \\ \\ P(X \geq 2) = \frac{32}{32} - \frac{6}{32} \\ \\ P(X \geq 2) = \frac{26}{32} \\ \\ P(X \geq 2) = \frac{13}{16}$

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d) 

No máximo duas coroas quer dizer:

$P(X \leq 2) = P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)$

Como na questão acima achamos que:


$\\ P(X=0) = \frac{1}{32} \\ \\ P(X=1) = \frac{5}{32} \\ \\ P(X=2) = \frac{10}{32}$

A probabilidade será os somatórios das probabilidades


$\\ = \frac{1}{32} + \frac{5}{32} + \frac{10}{32} \\ \\ = \frac{16}{32} \\ \\ = \frac{1}{2}$

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Ultima questão:

observamos que p = 0,20

Então q será: 1 -p ⇒ 0,80

n = 10

k = 3

$\\ P(X= k) = Cn,k*p^kq^n^-^k \\ \\ P(X=3) = C10,3*(0,20)^3*(0,80)^1^0^-^3 \\ \\ P(X=3) = \frac{10!}{(10-3)!3!} * (\frac{1}{5} )^3*( \frac{4}{5} )^7 \\ \\ P(X=3) = \frac{10*9*8*7!}{7!3!} *\frac{1}{5^3} * \frac{4^7}{5^7} \\ \\ P(X=3) = \frac{10*9*8}{3*2*1} * \frac{4^7}{5^1^0} \\ \\ P(X=3) = \frac{90*8}{6} * \frac{4^7}{5^1^0} \\ \\ P(X=3) = 15*8* \frac{4^7}{5^1^0} \\ \\ P(X=3) = 120*\frac{4^7}{5^1^0} \\ \\ P(X=3) = \frac{120*4^7}{5^7*5^3}$


$\\ P(X=3) = \frac{120*4^7}{5^7*125} \\ \\ P(X=3) = \frac{24}{25} *( \frac{4}{5} )^7$