Question

Distribuição binomial
Se 5% das lâmpadas de certa marca são defeituosas, achar a probabilidade de que, numa amostra de 100 lâmpadas escolhidas ao acaso tenhamos:
a) Nenhuma defeituosa
b) 3 defeituosas
c) Mais que uma boa

Answer 1

A)

q = 0,05

q = 1-p

0,05 = 1-p

p = 0,95
-----------------------------

$\\ P(X=100) = C100,100*p^1^0^0*q^1^0^0^-^1^0^0 \\ \\ P(X=100) = 1*(0,95)^1^0^0*(0,05)^0 \\ \\ P(X=100) = ( \frac{95}{100} )^1^0^0$

B)





A probabilidade de 3 ser defeituosa é o mesmo que 97 serem perfeitas.


$\\ P(X=97) = C100,97*p^9^7q^1^0^0^-^9^7 \\ \\ P(X=97) = \frac{100*99*98*97!}{3!97!} *( \frac{95}{100} )^9^7( \frac{5}{100} )^3 \\ \\ \\ P(X=97) = \frac{100*99*98}{3*2*1} *( \frac{95}{100} )^9^7( \frac{5}{100} )^3 \\ \\ P(X=97) = 50*33*98*\frac{95^9^7*5^3}{100^1^0^0} \\ \\ P(X=97) = \frac{161.700*95^9^7(125)}{100^9^7*100^3} \\ \\ P(X=97) = 20.212,5*( \frac{95}{100} )^9^7$



Mas que uma boa é o mesmos que:



$P(X\ \textgreater \ 1) = 1-P(X=0)$


$\\ P(X=0) = C100,0*p^0q^1^0^0 \\ \\ P(X=0) = 1*1*( \frac{5}{100} )^1^0^0 \\ \\ P(X=0) = ( \frac{5}{100} )^1^0^0$

Logo, 

$P(X\ \textgreater \ 1) = 1 - (\frac{5}{100} )^1^0^0$

Answer 2

Para responder corretamente esse tipo de questão, devemos levar em consideração que:

• A fórmula da distribuição binomial de probabilidade é dada por: P(X = x) = Cn,x . p^x . q^(n- x);
• Se 5% das lâmpadas são defeituosas, então 95% são normais, logo, p = 0,05 e q = 0,95 com n = 100;

Com essas informações,  sendo x o número de lâmpadas defeituosas, temos:

a) P(x = 0) = C100,0 . 0,05^0 . 0,95^(100-0)

P(x = 0) = 0,0059

b) P(x = 3) = C100,3 . 0,05³ . 0,95^(100-3)

P(x = 3) = 0,1396

c) P(x < 99) = 1 - P(x = 100)

P(x < 99) = 1 - (C100,100 . 0,05^100 . 0,95^(100-100)

P(x < 99) = 1 - 0

P(x < 99) = 1

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