Question

Determine m e n reais ,de modo que -2x^3+ mx^2+ n seja divisível por x^2+ x+ 1.

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Lidy, que se um polinômio é divisível por outro, então ele deixa resto igual a zero.
De acordo com o que você mandou, é informado que o polinômio P(x) = - 2x³ + mx² + n é divisível por D(x) = x² + x + 1, ou seja,  deixa resto zero, como já vimos acima.
Se é isso mesmo, então vamos fazer a divisão pedida.
Contudo, antes, note que:  para facilitar a divisão, seria conveniente complementarmos com "zero" os coeficientes de P(x) que estejam faltando, pois P(x) tem coeficientes de "x³", de "x²", mas não tem coeficiente de "x". Então vamos complementar com zero, com o que o polinômio P(x) ficará da seguinte forma:
P(x) = -2x³+mx²+0x+n

Agora sim, vamos efetuar a divisão pedida:

- 2x³ + mx² + 0x + n |_x² + x + 1_ <--- divisor
. . . . . . . . . . . . . . . . .  -2x + (m+2) <--- quociente
+2x³ + 2x² + 2x
-----------------------
....0 + mx²+2x² + 0x+2x + n ---- ou, "arrumando", teremos:
..........(m+2)x² + 2x + n
.......-(m+2)x² - (m+2)x - (m+2)
-----------------------------------------
.................0 + 2x - (m+2)x + n- (m+2) <---- Este é o resto. Como P(x) é divisível por D(x), então igualaremos o resto a zero. Logo:

2x - (m+2)x + n - (m+2) = 0 ----- ou, o que é a mesma coisa:
2x - (mx+2x) + n - (m+2) = 0 ---- retirando os parênteses, temos:
2x - mx - 2x + n - m - 2 = 0 ---- reduzindo os termos semelhantes, temos:

- mx - m + n - 2 = 0  ---- para facilitar, multiplicaremos ambos os membros por "-1", com o que ficaremos:

mx + m - n + 2 = 0 ---- veja que poderemos reescrever o 2º membro da seguinte forma, o que é plenamente normal:

mx + m-n+2 = 0x + 0

Agora vamos comparar os dois membros, ou seja, o coeficiente de "x" do primeiro membro deverá ser igual ao coeficiente de "x" do 2º membro; e os termos independentes do primeiro membro deverão ser iguais ao termo independente do 2º membro. Assim, deveremos ter que:

m = 0
e
m-n+2 = 0 ----- como já vimos que m = 0, então ficaremos:

0 - n + 2 = 0 --- ou apenas:
- n + 2 = 0
- n = - 2 ----- multiplicando ambos os membros por "-1", ficaremos com:

n = 2

Assim, como vimos aí em cima, teremos que os valores de "m" e "n" serão:

m = 0 e n = 2 <----- Esta é a resposta, se as expressões de P(x) e de D(x) são realmente as que você mandou na sua questão.


Deu pra entender bem?

Ok?
Adjemir.