Question

Determine a equação da circunferência com centro C(1, -2) e raio √26

Answer 1

(x-a)² + (y-b)² = r²

(x-1)² + (y+2)² = 26 => eq. reduzida

ou

x²-2x+1 + y²+4y+4 -26 = 0

x²+y²-2x+4y-21=0 => eq. geral

Answer 2

De modo geral, a equação reduzida (canônica) de uma circunferência λ (lambda) de centro O = (a, b) e raio r, representada no sistema cartesiano ortogonal usual, é dada por:

$\mathsf{\lambda:\big(x-a\big)^{\!2}+\big(y-b\big)^{\!2}=r^{\,2}}$

, onde a e b são números reais arbitrários e r é real positivo. Do próprio enunciado extrai-se todas as informações abaixo:

$\begin{cases}\mathsf{a=1}\\\\ \mathsf{b=-2}\\\\\mathsf{r=\sqrt{26}}\end{cases}$

Fazendo uso de todas elas, temos que a equação (na forma reduzida) desejada é:

$\boxed{\mathsf{\lambda:\big(x-1\big)^{\!2}+\big(y+2\big)^{\!2}=26}}$

Agora, caso queira a equação geral, é preciso expandir (desenvolver os "quadrados") a equação reduzida e fazer com que o segundo membro da equação resultante (equivalente à inicial) seja zero. Procedendo assim, temos que a equação geral da circunferência λ será:

$\boxed{\mathsf{\lambda:\, x^2+y^2-2x+4y-21=0}}$

Obs.: a equação geral de λ foi obtida da seguinte maneira:

$\mathsf{\qquad\quad \ \:\,\lambda:\big(x-1\big)^{\!2}+\big(y+2\big)^{\!2}=26}\\\\ \mathsf{\iff\quad\lambda:\, x^2-2x+1+y^2+4y+4=26}\\\\ \mathsf{\iff\quad\lambda:\, x^2+y^2-2x+4y+5=26}\\\\ \mathsf{\iff\quad\lambda:\, x^2+y^2-2x+4y+5-26=0}\\\\ \mathsf{\iff\quad\lambda:\,x^2+y^2-2x+4y-21=0}$

Um grande abraço!