Question

Desenvolva sen (x/2)


em função de sen x
.

Answer 1

Vamos partir de uma das identidades do cosseno do arco duplo:

$\mathsf{cos(x)=cos^2\Big(\dfrac{x}{2}\Big)-sen^2\Big(\dfrac{x}{2}\Big)}\\\\\\ \mathsf{cos(x)=1-sen^2\Big(\dfrac{x}{2}\Big)-sen^2\Big(\dfrac{x}{2}\Big)}\\\\\\ \mathsf{cos(x)=1-2\,sen^2\Big(\dfrac{x}{2}\Big)}$

Isole sen²(x/2):

$\mathsf{2\,sen^2\Big(\dfrac{x}{2}\Big)=1-cos(x)}\\\\\\ \mathsf{sen^2\Big(\dfrac{x}{2}\Big)=\dfrac{1-cos(x)}{2}\qquad\quad (i)}$

A princípio, temos os seguintes casos:

• Para x ∈ 1º quadrante ou x ∈ 4º quadrante, ou seja

$\mathsf{x\in\left]-\dfrac{\pi}{2}+k2\pi,\,\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\right[}\\\\\\ \mathsf{x\in\left](4k-1)\dfrac{\pi}{2},\,(4k+1)\dfrac{\pi}{2}\right[}$

com k inteiro, temos

$\mathsf{\dfrac{x}{2}\in\left](4k-1)\dfrac{\pi}{4},\,(4k+1)\dfrac{\pi}{4}\right[}$

e também

$\mathsf{cos(x)>0}\\\\ \mathsf{cos(x)=\sqrt{1-sen^2(x)}}\\\\ \mathsf{1-cos(x)=1-\sqrt{1-sen^2(x)}}\\\\ \mathsf{\dfrac{1-cos(x)}{2}=\dfrac{1-\sqrt{1-sen^2(x)}}{2}}\\\\\\ \mathsf{sen^2\Big(\dfrac{x}{2}\Big)=\dfrac{1-\sqrt{1-sen^2(x)}}{2}}\\\\\\ \mathsf{sen\Big(\dfrac{x}{2}\Big)=\pm\,\sqrt{\dfrac{1-\sqrt{1-sen^2(x)}}{2}}\qquad\quad(ii)}$

Para determinar qual o sinal que você deve usar na equação (ii), você deve analisar também em qual quadrante se encontra o arco x/2. O sinal de sen(x/2) será positivo se x/2 estiver no 1º ou 2º quadrantes, e negativo se x/2 estiver no 3º ou 4º quadrantes.

• Para x ∈ 2º quadrante ou x ∈ 3º quadrante, ou seja,

$\mathsf{x\in\left]\dfrac{\pi}{2}+k2\pi,\,\dfrac{3\pi}{2}+k2\pi\right[}\\\\\\ \mathsf{x\in\left](4k+1)\dfrac{\pi}{2},\,(4k+3)\dfrac{\pi}{2}\right[}$

com k inteiro, temos

$\mathsf{\dfrac{x}{2}\in\left](4k+1)\dfrac{\pi}{4},\,(4k+3)\dfrac{\pi}{4}\right[}$

e também

$\mathsf{cos(x)<0}\\\\ \mathsf{cos(x)=-\sqrt{1-sen^2(x)}}\\\\ \mathsf{1-cos(x)=1+\sqrt{1-sen^2(x)}}\\\\ \mathsf{\dfrac{1-cos(x)}{2}=\dfrac{1+\sqrt{1-sen^2(x)}}{2}}\\\\\\ \mathsf{sen^2\Big(\dfrac{x}{2}\Big)=\dfrac{1+\sqrt{1-sen^2(x)}}{2}}\\\\\\ \mathsf{sen\Big(\dfrac{x}{2}\Big)=\pm\,\sqrt{\dfrac{1+\sqrt{1-sen^2(x)}}{2}}\qquad\quad(iii)}$

Para determinar qual o sinal que você deve usar na equação (iii), você deve analisar também em qual quadrante se encontra o arco x/2. O sinal de sen(x/2) será positivo se x/2 estiver no 1º ou 2º quadrantes, e negativo se x/2 estiver no 3º ou 4º quadrantes.

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Bons estudos! :-)