Question

Derivadas

Alguém ajuda, não estou conseguindo chegar na resposta correta

$f(z)= \sqrt{z} /e ^{z}$

Answer 1

Ao usarmos a regra do quociente podemos concluir que a derivada dessa função é

$\Large\text{ \boxed{\boxed{\dfrac{1-2z}{2e^z\sqrt{z}}}} }$

Ou com o denominador racionalizado

$\Large\text{ \boxed{\boxed{\dfrac{\sqrt{z}\left(1-2z\right)}{2e^zz}}} }$

• Mas, como chegamos nessa resposta?

Temos a seguinte função

$F(z)= \dfrac{\sqrt{z} }{e^z}$

Para calcular sua derivada precisamos saber algumas propriedades da derivadas

• Regra do quociente $\dfrac{dy}{dx}\left(\dfrac{F(x)}{G(x)} \right) =\dfrac{\dfrac{dy}{dx}(F(x))\cdot G(x)- F(x)\cdot \dfrac{dy}{dx}(G(x)) }{G(X)^2}$

• Regra do quociente serve para achar a derivada de frações que podem ser divididas em duas funções

• Derivada de uma raiz quadrada

     $\dfrac{dy}{dx}(\sqrt{x} )=\dfrac{1}{2\cdot \sqrt{x} }$

• Derivada de Euler elevado a uma variável

      $\dfrac{dy}{dx}(e^x)=e^x$

Com isso em mente vamos resolver a questão

$F(z)= \dfrac{\sqrt{z} }{e^z}$

Podemos dizer que

$F(z)= \sqrt{z}$

$G(z)= e^z$

E assim substituir na regra do quociente

$\dfrac{dy}{dx}\left(\dfrac{F(x)}{G(x)} \right) =\dfrac{\dfrac{dy}{dx}(F(x))\cdot G(x)- F(x)\cdot \dfrac{dy}{dx}(G(x)) }{G(X)^2}$

$\dfrac{dy}{dz}\left(\dfrac{\sqrt{z} }{e^z} \right) =\dfrac{\dfrac{dy}{dz}(\sqrt{z} )\cdot e^z- \sqrt{z} \cdot \dfrac{dy}{dz}(e^z) }{(e^z)^2}$

Agora basta substituirmos as derivadas que ja conhecemos é simplificar a expressão

$\dfrac{dy}{dz}\left(\dfrac{\sqrt{z} }{e^z} \right) =\dfrac{\dfrac{dy}{dz}(\sqrt{z} )\cdot e^z- \sqrt{z} \cdot \dfrac{dy}{dz}(e^z) }{(e^z)^2}\\\\\\\dfrac{dy}{dz}\left(\dfrac{\sqrt{z} }{e^z} \right) =\dfrac{\dfrac{1}{2\sqrt{z} } \cdot e^z- \sqrt{z} \cdot e^z }{(e^z)^2}$

Simplificando temos

$\dfrac{dy}{dz}\left(\dfrac{\sqrt{z} }{e^z} \right) =\dfrac{\dfrac{1}{2\sqrt{z} } \cdot e^z- \sqrt{z} \cdot e^z }{(e^z)^2}\\\\\\\dfrac{dy}{dz}\left(\dfrac{\sqrt{z} }{e^z} \right) =\dfrac{\dfrac{e^z}{2\sqrt{z} } - e^z\sqrt{z} }{(e^{2z})}\\\\\\\dfrac{dy}{dz}\left(\dfrac{\sqrt{z} }{e^z} \right) =\dfrac{\dfrac{e^z-2e^zz}{2\sqrt{z}}}{(e^{2z})}$

$\dfrac{dy}{dz}\left(\dfrac{\sqrt{z} }{e^z} \right) =\dfrac{e^z-2e^zz}{2\sqrt{z}}\cdot \dfrac{1}{e^{2z}} \\\\\\\\\\\dfrac{dy}{dz}\left(\dfrac{\sqrt{z} }{e^z} \right) =\dfrac{e^z-2e^zz}{2e^{2z}\sqrt{z}}\\\\\\\\\\\dfrac{dy}{dz}\left(\dfrac{\sqrt{z} }{e^z} \right) =\dfrac{e^z\cdot (1-2z)}{2e^{2z}\sqrt{z}}\\\\\\\\\boxed{\dfrac{dy}{dz}\left(\dfrac{\sqrt{z} }{e^z} \right) =\dfrac{ (1-2z)}{2e^{z}\sqrt{z}}}$

Achamos nossa derivada mas ainda se quisermos podemos racionalizar essa expressão

• Racionalizar significa tirar a raiz do denominador

$\dfrac{ (1-2z)}{2e^{z}\sqrt{z}}\cdot \dfrac{\sqrt{z} }{\sqrt{z} } \\\\\\\boxed{\dfrac{(1-2z)\cdot\sqrt{z} }{2e^zz} }$

Achamos a resposta racionalizada

Aprenda mais sobre regra do quociente aqui no Brainly:

brainly.com.br/tarefa/48098014

brainly.com.br/tarefa/47019873