Question

Define-se geometricamente a razão áurea do seguinte modo: O ponto C da figura abaixo divide o segmento AB na razão áurea quando os valores AC/AB e CB/AC são iguais. Esse valor comum é chamado “razão áurea”.

A razão áurea, também denominada proporção áurea, número de ouro ou divina proporção, conquistou a imaginação popular e é tema de vários livros e artigos. Em geral, suas propriedades matemáticas estão corretamente enunciadas, mas muitas afirmações feitas sobre ela na arte, na arquitetura, na literatura e na estética são falsas ou equivocadas. Infelizmente, essas afirmações sobre a razão áurea foram amplamente divulgadas e adquiriram status de senso comum. Mesmo livros de geometria utilizados no ensino médio trazem conceitos incorretos sobre ela.
(Trecho traduzido e adaptado do artigo de G. Markowsky, Misconceptions about the golden ratio, The College Mathematics Journal, 23, 1, january, 1992, pp. 2-19.

a) Reescreva o trecho “(...) mas muitas afirmações feitas sobre ela na arte, na arquitetura, na literatura e na estética são falsas ou equivocadas”, substituindo a conjunção que o inicia por “embora”, com as devidas alterações.

b) O verbo da oração “Infelizmente, essas afirmações sobre a razão áurea foram amplamente divulgadas” está na voz passiva analítica. Reescreva-a com o verbo na voz passiva sintética, fazendo as devidas alterações.

c) Na figura presente no espaço destinado à resposta desta questão, o polígono ADEFG é um pentágono regular. Utilize semelhança de triângulos para demonstrar que o ponto C da figura divide o segmento AB na razão áurea.

Answer 1

a) Substituindo a conjunção “mas” por “embora”, o período recebe esta redação “(...) embora muitas afirmações feitas sobre ela na arte sejam falsas ou equivocadas, [suas propriedades matemáticas estão, de forma geral, enunciadas de modo correto].

b) A oração “Infelizmente, essas afirmações sobre a razão áurea foram amplamente divulgadas” apresenta o verbo na voz passiva analítica. Transcrevendo a oração para voz passiva sintética, fica redigida “Infelizmente, divulgaram-se amplamente essas afirmações sobre a razão áurea".

c) No pentágono regular ADEFG, analisamos sua circunferência y circunscrita. Nesta análise, obtemos os seguintes resultados:

1º) med(BÂD) = $\frac{DE}{2} = \frac{72°}{2} = 36°$

2°) med(ADC) = $\frac{GA}{2} = \frac{72°}{2} = 36°$

3°) med(CDB) = $\frac{FG}{2} = \frac{72°}{2} = 36°$

4°) med(ABD) = $\frac{AD + EF}{2} = \frac{72° + 72°}{2} = 72°$

5°) med(BCD) = med(CAD) + med(ADC) = 36° + 36° = 72°

Após a análise destes dados, podemos garantir que:

6º) ABD é um triângulo isósceles com base BD, isto é, AD = AB (I)

7º) DCB é um triângulo isósceles com base BC, isto é, DC = BD (II)

8°) CAD é um triângulo isósceles com base AD, isto é, DC = AC (III)

9º) Observamos as igualdades (II0 e (III), e foi possível concluir que BD = AC (IV)

No entanto, seguindo o critério de (AA~), conseguimos constatar que os triângulos isósceles DCB e ABD apresentam semelhanças.

Portanto, temos $\frac{DC}{AB} = \frac{BC}{BD}(V)$

Por fim, das igualdades (III), (IV) e (V), encontramos $\frac{AC}{AB} = \frac{CB}{AC}, comprovando que AC é o segmento áureo de AB.$