Question

Dados log 2 = x e log 3 = y, determine log
$log \sqrt[3]{12}$
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Answer 1

Neste exercício, vamos utilizar os conhecimentos de logaritmos e de potências para reescrever o logaritmo dado em função dos logaritmos informados pelo enunciado log2=x e log3=y.

Vamos começar lembrando que um radical (raiz) pode ser reescrito como uma potência de expoente fracionário ( $\sf \sqrt[b]{a^c}=a^{\frac{c}{b}}$ ). Aplicando este conceito, temos:

$\sf \log\sqrt[3]{12}~=~\log\,12^{\frac{1}{3}}$

Utilizaremos agora a propriedade do logaritmo da potência

($\sf \log_ba^{c}=c\cdot \log_ba$), permitindo "passarmos" o expoente do logaritmando para frente do logaritmo multiplicando-o:

$\log\sqrt[3]{12}~=~\dfrac{1}{3}\cdot \log12$

Fatorando o logaritmando, temos:

$\log\sqrt[3]{12}~=~\dfrac{1}{3}\cdot \log\,(2\cdot 2\cdot 3)$

Finalizando, vamos agora aplicar a propriedade do logaritmo do produto

($\sf \log_b\,(a\cdot c)=\log_ba+\log_bc$):

$\log\sqrt[3]{12}~=~\dfrac{1}{3}\cdot \left(\log2+\log2+\log3\right)$

Efetuando a substituição dos logaritmos conhecidos:

$\sf \log\sqrt[3]{12}~=~\dfrac{1}{3}\cdot \left(x+x+y\right)\\\\\\\boxed{\sf \log\sqrt[3]{12}~=~\dfrac{1}{3}\cdot \left(2x+y\right)}~~ou~~ \boxed{\sf \log\sqrt[3]{12}~=~\dfrac{2x+y}{3}}$

$\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$