Question

Dados de tamanho de uma população microbiana (N), milímetros, em
função da concentração de substrato (C), partes por milhão, foram obtidos
em um experimento e apresentados na Tabela 3.6.
A partir das informações fornecidas, assinale a alternativa que apresenta
a concentração de substrato quando a população é 1,45 mm. Utilize um
polinômio de grau 3 obtido por Lagrange e 3 casas decimais.
a) 4,263 ppm.
b) 4,152 ppm.
c) 4,651 ppm.
d) 4,294 ppm.
e) 4,317 ppm.

( RESPOSTA DA QUESTÃO E COM CÁLCULOS )

Answer 1

Interpolação de Lagrange:

$P(x) = \sum_{k=0}^n f(x_k) \cdot L_{n,k}(x)$

$P(x) =f(x_0) \cdot L_{3,0} + f(x_1) \cdot L_{3,1} + f(x_2) \cdot L_{3,2} + f(x_3) \cdot L_{3,3}$

Vamos primeiramente calcular os coeficientes de Lagrange:

$L_{3,0} = \dfrac{(x-x_1) \cdot (x-x_2) \cdot (x-x_3)}{(x_0-x_1) \cdot (x_0-x_2) \cdot (x_0-x_3)} =  \dfrac{(1,45-1,2) \cdot (1,45-1,4) \cdot (1,45-1,6)}{(1-1,2) \cdot (1-1,4) \cdot (1-1,6)}= \dfrac{(0,25) \cdot (0,05) \cdot (-0,15)}{(-0,2) \cdot (-0,4) \cdot (-0,6)}$

$L_{3,0} = \dfrac{-1,875 \cdot 10^{-3}}{-4,8 \cdot 10^{-2}} = 3,90625 \cdot 10^{-2}$

$L_{3,1} = \dfrac{(x-x_0) \cdot (x-x_2) \cdot (x-x_3)}{(x_1-x_0) \cdot (x_1-x_2) \cdot (x_1-x_3)}=\dfrac{(1,45-1) \cdot (1,45-1,4) \cdot (1,45-1,6)}{(1,2-1) \cdot (1,2-1,4) \cdot (1,2-1,6)}=\dfrac{(0,45) \cdot (0,05) \cdot (-0,15)}{(0,2) \cdot (-0,2) \cdot (-0,4)}$

$L_{3,1} = \dfrac{-3,375 \cdot 10^{-3}}{1,6 \cdot 10^{-2}} = -2,109375 \cdot 10^{-1}$

$L_{3,2} = \dfrac{(x-x_0) \cdot (x-x_1) \cdot (x-x_3)}{(x_2-x_0) \cdot (x_2-x_1) \cdot (x_2-x_3)}=\dfrac{(1,45-1) \cdot (1,45-1,2) \cdot (1,45-1,6)}{(1,4-1) \cdot (1,4-1,2) \cdot (1,4-1,6)}=\dfrac{(0,45) \cdot (0,25) \cdot (-0,15)}{(0,4) \cdot (0,2) \cdot (-0,2)}$

$L_{3,2} = \dfrac{-1,6875 \cdot 10^{-2}}{-1,6 \cdot 10^{-2}} = 1,05468$

$L_{3,3} = \dfrac{(x-x_0) \cdot (x-x_1) \cdot (x-x_2)}{(x_3-x_0) \cdot (x_3-x_1) \cdot (x_3-x_2)} = \dfrac{(1,45-1) \cdot (1,45-1,2) \cdot (1,45-1,4)}{(1,6-1) \cdot (1,6-1,2) \cdot (1,6-1,4)}=\dfrac{(0,45) \cdot (0,25) \cdot (0,05)}{(0,6) \cdot (0,4) \cdot (0,2)}$

$L_{3,3} = \dfrac{5,625 \cdot 10^{-3}}{-4,8 \cdot 10^{-2}}= 1,171875 \cdot 10^{-1}$

Agora, substituindo:

$P(1,45) =2,718 \cdot 3,90625 \cdot 10^{-2} + 3,32 \cdot (-2,109375 \cdot 10^{-1}) + 4,055 \cdot 1,05468 + 4,953 \cdot 1,171875 \cdot 10^{-1}$

$P(1,45) =1,06172 \cdot 10^{-1} - 7 \cdot 10^{-1} + 4,2767274 + 5,8043 \cdot 10^{-1}$

$\boxed{P(1,45) \approx 4,263\text{ ppm}}$

Alternativa A