Question

Considere X a soma dos números múltiplos de 5 maiores ou iguais a 10 e menores ou iguais a 150, e Y a soma dos números múltiplos de 3 maiores ou iguais a 150 e menores ou iguais a 200. Qual é o valor de X + Y ?

Answer 1

Resposta:

O valor de X + Y é igual a 5.278.

Explicação passo a passo:

Para o primeiro caso, temos a seguinte P.A. (progressão aritmética):

$(10,15,20,\cdots,140,145,150)\\\\\text{onde,}\\\\\begin{array}{ccc}a_1&=&10\\r&=&5\\a_n&=&150\end{array}$

Usando a equação do termo geral de uma P.A., descobrimos quantos termos há na sequência

$a_n=a_1+(n-1)\;.\;r\\\\150=10+(n-1)\;.\;5\\\\150=10+5n-5\\\\150=5+5n\\\\150-5=5n\\\\145=5n\\\\n=\dfrac{145}{5}\\\\n=29\;termos$

Usando a equação da soma dos termos de uma P.A., temos

$X=S_n=\dfrac{(a_1+a_n)\;.\;n}{2}\\\\X=\dfrac{(10+150)\;.\;29}{2}\\\\X=\dfrac{160\;.\;29}{2}\\\\X=80\;.\;29}\\\\\boxed{X=2.320}$

Usando o mesmo raciocínio para o segundo caso, encontramos Y:

$(150,153,156,\cdots,192,195,198)\\\\\text{onde,}\\\\\begin{array}{ccc}a_1&=&150\\r&=&3\\a_n&=&198\end{array}\\\\\\\\a_n=a_1+(n-1)\;.\;r\\\\198=150+(n-1)\;.\;3\\\\198=150+3n-3\\\\198=147+3n\\\\198-147=3n\\\\51=3n\\\\n=\dfrac{51}{3}\\\\n=17\;termos\\\\\\\\Y=S_n=\dfrac{(a_1+a_n)\;.\;n}{2}\\\\Y=\dfrac{(150+198)\;.\;17}{2}\\\\Y=\dfrac{348\;.\;17}{2}\\\\Y=174\;.\;17}\\\\\boxed{Y=2.958}$

Portanto,

$X+Y=2.320+2.958=\mathbf{5.278}$