Resolva os sistemas lineares por método de escalonamento e classifique os sistemas em SPD, SPI ou SI
a) 2x + y + z = 8
x + y + z = 9
x - 5y - 2z = 21
b) x - 2y + 3z = 7
4x + 3y - 2z = 4
3x - 6y + 9z = 21
c) 2x + y + z = 13
x + y + 2z = 10
3x - 4y + 2z = 32
d) 2x + 2y - 4z = 8
x + y - 2z = 4
x - 5y - 2z = 21
URGENTE!!! PRECISO DE AJUDA!!!
Soluções para a tarefa
Resposta:
Letra A
X = -1
Y = -14
Z = 24
D = 3
É um SPD
Letra B
É um SI
Letra C
X = 6
Y = -2
Z = 3
D = 17
É um SPD
Letra D
É um SI
Explicação passo a passo:
Letra A
Bom, para resolver pelo método de escalonamento, primeiro vamos transformar em uma matriz completa:
( 2 1 1 8 ) L1
( 1 1 1 9 ) L2
( 1 -5 -2 21) L3
Agora vamos fazer uma operação entre L1 e L2 com o objetivo de zerar o número a21 (segunda linha na primeira coluna)
E vamos fazer L2 = -2.L2 +L1, e teremos:
2 1 1 8
-2 -2 -2 -18
L2 = 0 -1 -1 -10, e a matriz ficará como:
( 2 1 1 8 ) L1
( 0 -1 -1 -10 ) L2
( 1 -5 -2 21) L3
Agora vamos fazer uma operação entre L3 e L1, para zerar o a31(terceira linha e primeira coluna)
Faremos L3 = -2.L3 +L1
-2 10 4 -42
2 1 1 8
L3 = 0 11 5 -34
E ficaremos com
( 2 1 1 8 ) L1
( 0 -1 -1 -10 ) L2
( 0 11 5 -34) L3
Agora vamos zerar a coluna y na terceira coluna fazendo uma operação entre L2 e L3, e teremos:
L3 = 5.L2 +L3
0 -5 -5 -50
0 11 5 -34
L3 = 0 6 0 -84
E com isso teremos:
( 2 1 1 8 ) L1
( 0 -1 -1 -10 ) L2
( 0 6 0 -84) L3
Agora temos na L3 que 6y = -84, e fazendo a divisão de -84 por 6, teremos: y = -14
Com isso, podemos substituir o Y na L2 por -14, e teremos:
-y -z = -10
- (-14) -z = -10
14 -z = -10
-z = -10 -14
-z = -24
z = 24
E com o valor de Y e Z, basta substituir na L1 para obter o valor de X:
2x y z = 8
2x -14 24 = 8
2x = 8 +14 -24
2x = 22 -24
2x = -2
x = -1
Com isso temos o valor das 3 incógnitas, X= -1 Y= -14 e Z= 24
Agora para saber se é um SPD ou um SPi, vamos calcular o valor do Determinante.
( 2 1 1 ) ( 2 1 )
( 1 1 1 ) ( 1 1 )
( 1 -5 -2 ) ( 1 -5 )
Fazendo a multiplicação na diagonal dos principais e secundários obteremos: 2.1.-2 +1.1.1 +1.1.-5 -1.1.1 -2.1.-5 -1.1.-2
-4 +1 -5 -1 +10 +2
D = -10 +13
D = 3
Como o determinante é diferente de 0, teremos uma SPD.
Letra B
Vamos utilizar o mesmo método da letra A na letra B, C e D, logo:
( 1 -2 3 7 ) L1
( 4 3 -2 4 ) L2
( 3 -6 9 21) L3
L3 = -3.L1 +L3
-3 +6 -9 -21
3 -6 9 21
L3 = 0 0 0 0
Agora temos:
( 1 -2 3 7 ) L1
( 4 3 -2 4 ) L2
( 0 0 0 0) L3
L2 = -4.L1 +L2
-4 +8 -12 -28
4 3 -2 4
L2 = 0 5 -14 -24
Temos:
( 1 -2 3 7 ) L1
( 0 5 -14 -24 ) L2
( 0 0 0 0) L3
Agora L2 = 2.L2 +5.L1
0 10 -28 -48
5 -10 +15 +35
L2 = 5 0 -13 -13
Logo teremos:
( 1 -2 3 7 ) L1
( 5 0 -13 -13 ) L2
( 0 0 0 0) L3
Como podemos ver não conseguimos zerar duas incógnitas na L2, logo é um SI.
Letra C
( 2 1 1 13 ) L1
( 1 1 2 10 ) L2
( 3 -4 2 32 ) L3
L3 = -3.L2 +L3
-3 -3 -6 -30
3 -4 2 32
L3 = 0 -7 -4 2
Agora temos:
( 2 1 1 13 ) L1
( 1 1 2 10 ) L2
( 0 -7 -4 2 ) L3
L2 = -2.L2 +L1
-2 -2 -4 -20
2 1 1 13
L2 = 0 -1 -3 -7
Teremos:
( 2 1 1 13 ) L1
( 0 -1 -3 -7 ) L2
( 0 -7 -4 2 ) L3
L3 = -7.L2 +L3
0 +7 +21 +49
0 -7 -4 2
L3 = 0 0 17 51
Agora teremos:
( 2 1 1 13 ) L1
( 0 -1 -3 -7 ) L2
( 0 0 17 51 ) L3
Na L3 temos que 17Z = 51, logo Z = 3.
Substituindo o Z por 3 na L2 teremos:
-y -3z = -7
-y -3.3 = -7
-y -9 = -7
-y = -7 +9
-y = 2
y = -2
Agora vamos substituir o Y e o Z na L1 para achar o valor de X:
2x + y + z = 13
2x -2 +3 = 13
2x +1 = 13
2x = 13 -1
2x = 12
x = 6
Com isso temos que X = 6 Y = -2 e Z = 3
Agora vamos ver o valor do Determinante para saber se é um SPD ou SPI.
( 2 1 1 ) ( 2 1 )
( 1 1 2 ) ( 1 1 )
( 3 -4 2 ) ( 3 -4)
2.1.2 +1.2.3 +1.1.-4 -1.1.3 -2.2.-4 -1.1.2
4 +6 -4 -3 +16 -2
D = 26 -9
D = 17
Logo, é uma SPD
Letra D
( 2 2 -4 8 ) L1
( 1 1 -2 4 ) L2
( 1 -5 -2 21) L3
L3 = -L2 +L3
-1 -1 2 -4
1 -5 -2 21
L3 = 0 -6 0 17
Temos que:
( 2 2 -4 8 ) L1
( 1 1 -2 4 ) L2
( 0 -6 0 17 ) L3
L2 = -2.L2 +L1
-2 -2 4 -8
2 2 -4 8
L2 = 0 0 0 0
Temos:
( 2 2 -4 8 ) L1
( 0 0 0 0 ) L2
( 0 -6 0 17 ) L3
Na L3 podemos ver que -6y = 17, logo Y = -17/6.
Mas, como podemos ver, a L2 está totalmente zerada, logo esse sistema linear é um SI.
Me desculpe se faltou alguma coisa mas,
Espero que tenha ajudado =D