Matemática, perguntado por stefanyalves989808, 3 meses atrás

Resolva os sistemas lineares por método de escalonamento e classifique os sistemas em SPD, SPI ou SI
a) 2x + y + z = 8
x + y + z = 9
x - 5y - 2z = 21

b) x - 2y + 3z = 7
4x + 3y - 2z = 4
3x - 6y + 9z = 21

c) 2x + y + z = 13
x + y + 2z = 10
3x - 4y + 2z = 32

d) 2x + 2y - 4z = 8
x + y - 2z = 4
x - 5y - 2z = 21
URGENTE!!! PRECISO DE AJUDA!!!

Soluções para a tarefa

Respondido por phasaraiva
1

Resposta:

Letra A

X = -1

Y = -14

Z = 24

D = 3

É um SPD

Letra B

É um SI

Letra C

X = 6

Y = -2

Z = 3

D = 17

É um SPD

Letra D

É um SI

Explicação passo a passo:

Letra A

Bom, para resolver pelo método de escalonamento, primeiro vamos transformar em uma matriz completa:

( 2 1 1 8 ) L1

( 1 1 1 9 ) L2

( 1 -5 -2 21) L3

Agora vamos fazer uma operação entre L1 e L2 com o objetivo de zerar o número a21 (segunda linha na primeira coluna)

E vamos fazer L2 = -2.L2 +L1, e teremos:

2 1 1 8

-2 -2 -2 -18

L2 = 0 -1 -1 -10, e a matriz ficará como:

( 2 1 1 8 ) L1

( 0 -1 -1 -10 ) L2

( 1 -5 -2 21) L3

Agora vamos fazer uma operação entre L3 e L1, para zerar o a31(terceira linha e primeira coluna)

Faremos L3 = -2.L3 +L1

-2 10 4 -42

2 1 1 8

L3 = 0 11 5 -34

E ficaremos com

( 2 1 1 8 ) L1

( 0 -1 -1 -10 ) L2

( 0 11 5 -34) L3

Agora vamos zerar a coluna y na terceira coluna fazendo uma operação entre L2 e L3, e teremos:

L3 = 5.L2 +L3

0 -5 -5 -50

0 11 5 -34

L3 = 0 6 0 -84

E com isso teremos:

( 2 1 1 8 ) L1

( 0 -1 -1 -10 ) L2

( 0 6 0 -84) L3

Agora temos na L3 que 6y = -84, e fazendo a divisão de -84 por 6, teremos: y = -14

Com isso, podemos substituir o Y na L2 por -14, e teremos:

-y -z = -10

- (-14) -z = -10

14 -z = -10

-z = -10 -14

-z = -24

z = 24

E com o valor de Y e Z, basta substituir na L1 para obter o valor de X:

2x y z = 8

2x -14 24 = 8

2x = 8 +14 -24

2x = 22 -24

2x = -2

x = -1

Com isso temos o valor das 3 incógnitas, X= -1     Y= -14     e     Z= 24

Agora para saber se é um SPD ou um SPi, vamos calcular o valor do Determinante.

( 2 1  1  ) ( 2 1 )

( 1  1  1  ) ( 1  1 )

( 1 -5 -2 ) ( 1 -5 )

Fazendo a multiplicação na diagonal dos principais e secundários obteremos: 2.1.-2 +1.1.1 +1.1.-5 -1.1.1 -2.1.-5 -1.1.-2

-4 +1 -5 -1 +10 +2

D = -10 +13

D = 3

Como o determinante é diferente de 0, teremos uma SPD.

Letra B

Vamos utilizar o mesmo método da letra A na letra B, C e D, logo:

( 1 -2 3 7 ) L1

( 4 3 -2 4 ) L2

( 3 -6 9 21) L3

L3 = -3.L1 +L3

-3 +6 -9 -21

3 -6 9 21

L3 = 0 0 0 0

Agora temos:

( 1 -2 3 7 ) L1

( 4 3 -2 4 ) L2

( 0 0 0 0) L3

L2 = -4.L1 +L2

-4 +8 -12 -28

4 3 -2 4

L2 = 0 5 -14 -24

Temos:

( 1 -2 3 7 ) L1

( 0 5 -14 -24 ) L2

( 0 0 0 0) L3

Agora L2 = 2.L2 +5.L1

0 10 -28 -48

5 -10 +15 +35

L2 = 5 0 -13 -13

Logo teremos:

( 1 -2 3 7 ) L1

( 5 0 -13 -13 ) L2

( 0 0 0 0) L3

Como podemos ver não conseguimos zerar duas incógnitas na L2, logo é um SI.

Letra C

( 2 1  1   13 ) L1

( 1  1  2 10 ) L2

( 3 -4 2 32 ) L3

L3 = -3.L2 +L3

-3 -3 -6 -30

3 -4 2 32

L3 = 0 -7 -4 2

Agora temos:

( 2 1  1  13 ) L1

( 1  1  2 10 ) L2

( 0 -7 -4 2 ) L3

L2 = -2.L2 +L1

-2 -2 -4 -20

2 1 1 13

L2 = 0 -1 -3 -7

Teremos:

( 2 1  1  13 ) L1

( 0 -1 -3 -7 ) L2

( 0 -7 -4 2 ) L3

L3 = -7.L2 +L3

0 +7 +21 +49

0 -7 -4 2

L3 = 0 0 17 51

Agora teremos:

( 2 1  1  13 ) L1

( 0 -1 -3 -7 ) L2

( 0 0 17 51 ) L3

Na L3 temos que 17Z = 51, logo Z = 3.

Substituindo o Z por 3 na L2 teremos:

-y -3z = -7

-y -3.3 = -7

-y -9 = -7

-y = -7 +9

-y = 2

y = -2

Agora vamos substituir o Y e o Z na L1 para achar o valor de X:

2x + y + z = 13

2x -2 +3 = 13

2x +1 = 13

2x = 13 -1

2x = 12

x = 6

Com isso temos que X = 6      Y = -2      e      Z = 3

Agora vamos ver o valor do Determinante para saber se é um SPD ou SPI.

( 2 1  1  ) ( 2 1 )

( 1  1  2 ) ( 1  1 )

( 3 -4 2 ) ( 3 -4)

2.1.2 +1.2.3 +1.1.-4 -1.1.3 -2.2.-4 -1.1.2

4 +6 -4 -3 +16 -2

D = 26 -9

D = 17

Logo, é uma SPD

Letra D

( 2 2 -4 8 ) L1

( 1 1 -2 4 ) L2

( 1 -5 -2 21) L3

L3 = -L2 +L3

-1 -1 2 -4

1 -5 -2 21

L3 = 0 -6 0 17

Temos que:

( 2 2 -4 8 ) L1

( 1 1 -2 4 ) L2

( 0 -6 0 17 ) L3

L2 = -2.L2 +L1

-2 -2 4 -8

2 2 -4 8

L2 = 0 0 0 0

Temos:

( 2 2 -4 8 ) L1

( 0 0 0 0 ) L2

( 0 -6 0 17 ) L3

Na L3 podemos ver que -6y = 17, logo Y = -17/6.

Mas, como podemos ver, a L2 está totalmente zerada, logo esse sistema linear é um SI.

Me desculpe se faltou alguma coisa mas,

Espero que tenha ajudado =D

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