Question

Considere o conjunto S de todas as sequências de 5 letras formadas com as vogais A, E, I, O e U que satisfazem
simultaneamente às duas regras abaixo:
I. O número de letras A é igual ao número de letras E.
II. O número de letras O é igual ao número de letras U.
Por exemplo, as sequências UOIOU, AEIOU e IAEII satisfazem as duas regras acima, enquanto AAEEE não satisfaz a
primeira regra e IOIIO não satisfaz a segunda.
Quantos elementos distintos possui o conjunto S?


resposta:221
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Answer 1

$P_{(n)_{(r_x)}} \ = \ \frac{n!}{r_x!} \ \rightarrow \\ \\ P_{(n)_{(r_x)}} \ \rightarrow \ Permuta\c{c}\~ao \ de \ n \ elementos \ com \ r_x \ repeti\c{c}\~oes.$

$Aqui,\ teremos \ que \ usar \ mais \ o \ dito \ 'PFC' \ e \ um \ pouco \ de \ permutas. \\ N\~ao \ consigo \ imaginar \ algo \ usando \ arranjos \ ou \ combina\c{c}\~oes, \\ devido \ \`as \ restri\c{c}\~oes.$

$Pensando \ simples, \ podemos \ ter \ conjuntos \ do \ tipo \ \Rightarrow \\ \\ (A,E,x,y,z) \ \rightarrow \ E \ se \ x \ / \ y \ / \ z \ = \ O, \ outra \ letra \ dever\'a \ ser \ U \ e, \\ completando, \ a \ \'ultima \ ser\'a \ I; \\ Ou \ ent\~ao \ x \ = \ y \ = \ z \ = I. \\ \\ (A,E,A,E,z) \ \rightarrow \ E \ neste \ caso, \ z \ obrigatoriamente \ = \ I;$

$(O,U,O,U,z) \ \rightarrow \ E \ neste \ caso, \ z \ obrigatoriamente \ = \ I;$

$(x, \ y, \ z, \ w, \ n) \ \rightarrow \ Observe \ que \ a \ \'unica \ vogal \ que \ n\~ao \\ puxa \ ningu\'em \ \'e \ I. \ (x \ = \ y \ = \ z \ = \ w \ = \ n \ = \ I)$

$Veja \ e \ reveja \ as \ restri\c{c}\~oes. \ Agora, \ montaremos \ os \ conjuntos \\ e \ as \ suas \ permuta\c{c}\~oes. \\ \\ Sendo \ poucos \ elementos, \ o \ prop\'osito \ do \ exerc\'icio \ \'e \ realmente$$'fazer \ na \ m\~ao'.$

$\longrightarrow \ (A,E,I,O,U) \ \Rightarrow \ n \ = \ 5 \ elementos \ com \ r_x \ = 0 \ repeti\c{c}\~oes. \\ \\ P_{(5)_{(0)}} \ \rightarrow \ \frac{5!}{0!} \ \rightarrow \ 5 \ \cdot \ 4 \ \cdot \ 3 \ \cdot \ 2 \ \cdot \ 1 \ = \ \boxed{120 \ anagramas}$

$\longrightarrow \ (A,E,A,E,I) \ \Rightarrow \ n \ = \ 5 \ elementos \ com \ r_x \ = \\ 2 \ repeti\c{c}\~oes \ de \ A \ e \ 2 \ de \ E. \\ \\ P_{(5)_{(2,2)}} \ \rightarrow \ \frac{5!}{2! \ \cdot \ 2!} \ \rightarrow \ \frac{5 \ \cdot \ \not{4} \ \cdot \ 3 \ \cdot \ 2 \ \cdot \ \not{1}}{\not{2} \ \cdot \ 1 \ \cdot \ \not{2} \ \cdot \ 1} \ = \ \boxed{30 \ anagramas}$

$\longrightarrow \ (A,E,I,I,I) \ \Rightarrow \ n \ = \ 5 \ elementos \ com \ r_x \ = \\ 3 \ repeti\c{c}\~oes \ de \ I. \\ \\ P_{(5)_{(3)}} \ \rightarrow \ \frac{5!}{3!} \ \rightarrow \ \frac{5 \ \cdot \ 4 \ \cdot \ \not{3!}}{\not{3!}} \ = \ \boxed{20 \ anagramas}$

$\longrightarrow \ (O,U,O,U,I) \ \Rightarrow \ n \ = \ 5 \ elementos \ com \ r_x \ = \\ 2 \ repeti\c{c}\~oes \ de \ O \ e \ 2 \ de \ U. \\ \\ P_{(5)_{(2,2)}} \ \rightarrow \ \frac{5!}{2! \ \cdot \ 2!} \ \rightarrow \ \frac{5 \ \cdot \ \not{4} \ \cdot \ 3 \ \cdot \ 2 \ \cdot \ \not{1}}{\not{2} \ \cdot \ 1 \ \cdot \ \not{2} \ \cdot \ 1} \ = \ \boxed{30 \ anagramas}$

$\longrightarrow \ (O,U,I,I,I) \ \Rightarrow \ n \ = \ 5 \ elementos \ com \ r_x \ = \\ 3 \ repeti\c{c}\~oes \ de \ I. \\ \\ P_{(5)_{(3)}} \ \rightarrow \ \frac{5!}{3!} \ \rightarrow \ \frac{5 \ \cdot \ 4 \ \cdot \ \not{3!}}{\not{3!}} \ = \ \boxed{20 \ anagramas}$

$\longrightarrow \ (I,I,I,I,I) \ \Rightarrow \ n \ = \ 5 \ elementos \ com \ r_x \ = \\ 5 \ repeti\c{c}\~oes \ de \ I. \\ \\ P_{(5)_{(5)}} \ \rightarrow \ \frac{5!}{5!} \ = \boxed{1 \ anagrama}$

$Ou \ seja, \ no \ conjunto \ S, \ temos \ \longrightarrow \\ \\ S \ = \ 120 \ + \ 30 \ + \ 20 \ + \ 30 \ + \ 20 \ + \ 1 \ \Rightarrow \ \boxed{\boxed{S \ = \ 221 \ anagramas}}$

Answer 2

O conjunto S possui 221 elementos.

Vamos dividir em quatro condições:

• A sequência não possui as vogais A, E, O, U
• A sequência possui 1 A, E, O, U
• A sequência possui 2 A, E, O, U.
• A sequência possui todas as vogais.

1ª condição

Só temos uma sequência com essa condição, que é IIIII.

2ª condição

Observe que as sequências serão da forma AEIII ou OUIII.

Como a letra I aparece 3x, então temos uma permutação com repetição.

Assim, existem $2.\frac{5!}{3!}=2.20 = 40$ sequências.

3ª condição

As sequências serão da forma AAEEI ou OOUUII.

Novamente, utilizaremos a permutação com repetição.

Então, temos um total de $2.\frac{5!}{2!2!}=2.30=60$ sequência.

4ª condição

Como as sequências serão da forma AEIOU, então calcularemos a permutação entre elas:

5! = 120 sequências.

Portanto, o total de sequências do conjunto S é igual a 1 + 40 + 60 + 120 = 221.

Para mais informações sobre permutação, acesse: https://brainly.com.br/tarefa/18478259