Question

A probabilidade de se vencer uma partida de certo jogo é de 10%. Quantas partidas devem ser jogadas em sequência
para que a probabilidade de que haja vitória em pelo menos uma delas seja superior a 99%? Se necessário, use
log(3) = 0,477.

Resposta: 44
Comente a resolução, por favor

Answer 1

Raciocínio para este exercício:

=> Note que é pedido:

""..a probabilidade de que haja vitória em PELO MENOS UMA delas seja superior a 99%..""  ...ou seja P(X ≥ 1)   --> Isto implica que só NÃO INTERESSA a probabilidade de NÃO HAVER vitórias ...ou seja P(X = 0)

Considerando "X" como "vitória" (sucesso) e "Y" como "não vitória" (insucesso) temos agora uma relação (igualdade) importante para este exercício P(x = 0) = P(y ≥ 1) ..deu para entender até aqui??

...A partir desta última igualdade, e recorrendo ao conceito de probabilidade complementar, chegamos á nossa definição da probabilidade pedida e que será:

P(X ≥ 1) = 1 - P(Y ≥ 1)

...como queremos que P(X ≥ 1) ≥ 0,99 ...então teremos finalmente:

0,99 ≤ 1 - P(Y ≥ 1)

...e agora a dificuldade está limitada ao cálculo de P(Y ≥ 1) e para isso teremos de recorrer a uma Binomial

recordando os dados do problema:

Probabilidade de sucesso (X) = 0,1 ...implica uma probabilidade de insucesso (Y) de 1- 0,1 = 0,9

como desconhecemos o número de tentativas necessárias ..então vamos considerá-las como "n"

Deste modo a nossa Binomial ficará definida da seguinte forma:

C(n,0) . (0,1)⁰ . (0,9)⁽ⁿ⁻⁰⁾

agora resta integrá-la na inequação de probabilidade indicada em cima ..assim:

 0,99 ≤ 1 - P(Y ≥ 1)

substituindo

0,99 ≤ 1 - [C(n,0) . (0,1)⁰ . (0,9)⁽ⁿ⁻⁰⁾]

acabamos o nosso raciocínio vamos passar á resolução:

0,99 ≤ 1 - [C(n,0) . (0,1)⁰ . (0,9)⁽ⁿ⁻⁰⁾]

0,99 ≤ 1 - { [n!/0!(n - 0)!] . (1) . (0,9)ⁿ}

0,99 ≤ 1 - { [n!/1(n!] . (1) . (0,9)ⁿ}

0,99 ≤ 1 - [ (1) . (1) . (0,9)ⁿ]

0,99 ≤ 1 - (0,9)ⁿ

0,99 -1 ≤ - (0,9)ⁿ

- 0,01 ≤ - (0,9)ⁿ

....multiplicando por (-1)

0,01 ≤ (0,9)ⁿ

..recorrendo ás propriedades dos logaritmos

Log 0,01 ≤ n . Log 0,9

-4,605170186 ≤ n . -0,1053605

(-4,605170186)/(-0,1053605) ≤ n

43,708691 ≤ n  <--  Valor de "n" ...o que implica um número de tentativas (inteiro) de 44 tentativas


agora só falta verificar a solução:

=> PARA "n" = 43 teremos:

P(X ≥ 1) = 1 - (0,9)⁴³ 

P(X ≥ 1) = 1 -  0,010775264

P(X ≥ 1) =  0,9892247  ...logo "n" = 43 ..não satisfaz as condições da probabilidade pedida


=> PARA "n" = 44 teremos:

P(X ≥ 1) = 1 - (0,9)⁴⁴

P(X ≥ 1) = 1 - 0,009697737

P(X ≥ 1) =  0,9903023  "n" = 44 é a solução da nossa probabilidade



Espero ter ajudado