Question

Considere a função y = x² + (k - 2)x + 10, sendo -1 uma de suas raízes, determine respectivamente o valor de K e a outra raíz dessa função.
a) -13 e -1
b) -11 e 10
c) 10 e 15
d) -1 e -10
e) 13 e -10

Answer 1

Olá!

O enunciado diz que -1 é uma das raízes da função. Isso quer dizer que quando x = - 1,  y = 0.

Fazendo x = -1  e y = 0 vamos encontrar encontrar o valor de k.

Fica assim:

$y = x^{2} + (k - 2)x + 10\\ \\ 0=(-1)^{2}+(k-2)\cdot(-1)+10\\ \\ 0=1+(-k+2)+10\\ \\ 0=1-k+2+10\\ \\ 0=-k+13\\ \\ -k=-13~~~~\cdot(-1)\\ \\ \boxed{k=13}$

Agora vamos substituir  k = 13 na função e encontrar suas raízes. O enunciado já nos deu a raíz  (- 1) e quer saber qual é a outra raíz da função.

y = x² + (k - 2)x + 10

y = x² + (13 - 2)x + 10

y = x² + 11x + 10    →  Bháskara

a = 1   ,   b = 11    ,   c = 10

$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4\cdot a\cdot c} }{2\cdot a} ~~\to~~\dfrac{-11\pm\sqrt{(-11)^{2}-4\cdot 1\cdot 10} }{2\cdot 1}~~=~~ \dfrac{-11\pm\sqrt{81} }{2}~~=\\ \\ \\ \dfrac{-11\pm9}{2}~~=\to~~x'=-\dfrac{2}{2}~~\to ~~\boxed{x'=-1}\\ \\ \\ x''=-\dfrac{20}{2} ~~\to~~\boxed{x''=-10}$

As raízes são  x' = -1   e   x'' = - 10

x = -1  o enunciado já havia nos dado, então a outra raíz que procurávamos é  x = - 10.

Resposta:

k = 13

x = -10

Letra e)

:)