Question

Cálculo George B. Thomas. Edição 11 volume 2
Capítulo 14.3

derivadas parciais de primeira ordem

2)

$F(x,y)=x^2-xy+y^2$

Encontre $\dfrac{\partial F}{\partial X}~ e~ \dfrac{\partial F}{\partial Y}$

Answer 1

Derivando parcialmente   a função encontramos os seguintes resultados

$\dfrac{\partial F}{\partial X} (x^2-xy+y^2)= 2x-y$

$\dfrac{\partial F}{\partial Y} (x^2-xy+y^2)= 2y-x$

Bem temos uma questão de derivadas parciais de primeira ordem

Primeiro temos que saber o que são derivadas parciais de primeira ordem

• Derivas parciais são usadas quando temos mais de uma variável na função  

• O de primeira ordem significa que só precisamos derivar uma vez, se fosse de segunda ordem tinha que duas e assim por diante

• o $\dfrac{\partial F}{\partial X}$ Significa que vamos derivar a função com o X sendo a variável e portanto as outras variáveis se tornam Constantes

• o $\dfrac{\partial F}{\partial Y}$ Significa que vamos derivar a função com o Y sendo a variável e portanto as outras variáveis se tornam Constantes

• antes de começarmos a derivar precisamos saber algumas regras da derivação

• $\dfrac{d}{dx} (Constante)= 0$

• $\dfrac{d}{dx}(X)= 1$

• $\dfrac{d}{dx} (X^N)= N\cdot X^{N-1}$

Tendo isso em mente vamos  começar a resolver a questão

Primeiro vamos encontrar o $\dfrac{\partial F}{\partial X}$

$\dfrac{\partial F}{\partial X} (X^2-XY+Y^2)$

$\dfrac{\partial F}{\partial X} (X^2)- \dfrac{\partial F}{\partial X}(XY)+ \dfrac{\partial F}{\partial X} (Y^2)$   ( Lembre-se que Y é uma constante )

$2X^{2-1}- Y+0\\\\\boxed{2X-Y}$

agora vamos encontrar o $\dfrac{\partial F}{\partial Y}$

$\dfrac{\partial F}{\partial Y} (X^2-XY+Y^2)$

$\dfrac{\partial F}{\partial Y} (X^2)- \dfrac{\partial F}{\partial Y}(XY)+ \dfrac{\partial F}{\partial Y} (Y^2)$

$0-X+2Y^{2-1}$

$\boxed{2Y-X}$

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