Question

Calcule n na expressão abaixo:
1+2+3+4+...+n/(n+1)!= 1/240

Answer 1

A expressão do numerador da fração à direita da igualdade é a soma dos termos de uma PA de razão 1, n termos e primeiro termo igual a 1. Dessa maneira, podemos reescrever esse numerador:

$1+2+3+...+n=\dfrac{(a_1+a_n)n}{2}=\dfrac{(n+1)n}{2}$

Substituindo na expressão dada:

$\dfrac{1+2+3+...+n}{(n+1)!}=\dfrac{1}{240}\\\\ \dfrac{~\dfrac{(n+1)n}{2}~}{(n+1)n(n-1)!}=\dfrac{1}{240}\\\\ \dfrac{1}{2\cdot(n-1)!}=\dfrac{1}{240}\\\\ 2\cdot(n-1)!=240\\\\ (n-1)!=120\\\\ (n-1)!=5!\\\\ n-1=5\\\\ \boxed{n=6}$

Answer 2

Sn = (a1 + an) * n/2
Sn = (1 + n)* n/2

(1 +  2 + 3 + 4 + ... +n) / (n + 1)! = 1/240
[ n.(n = 1)/2] / (n + 1)! = 1/240
[ 240n.(n + 1)/2 ] / (n + 1)! = 1
[ 120n.(n + 1) ] / (n + 1)! = 1
[ 120n.(n + 1) ] / (n + 1).n.(n - 1)! = 1
120 / (n - 1)! = 1
120 = (n - 1)!
5! = (n - 1)!
5 = n - 1
n = 6