Question

Atividade 12 matemática

Answer 1

Resposta:

Olá!

O teorema de Fubini diz que o resultado de uma integral dupla é simplesmente a integração da função f(x,y) nos limites.

$\int\limits^1_0\int\limits^2_{-1} {x^2y^3} \, dxdy$

Observe que x² é uma função que está acima do eixo x. Então y³ é a constante de modo que teremos:

$y^3\int\limits^2_{-1} {x^2} \, dx$

Integrando a função x^2 e aplicando o teorema fundamental do cálculo:

$y^3[ {x^3/3]^2_{-1}} = 3$

Agora calculamos a integral y³:

$\int\limits^1_0 {y^3}* \,3dy$

$\int\limits^1_0 {y^3}* \,3dy =3*( 4y/4]^1_0)$

$= \frac{3}{4}$

letra B

Answer 2

A integral dupla da função f(x,y) = x²y³ no intervalo [-1,2] x [0,1] é igual a 3/4.

Como calcular uma integral dupla?

Para calcular a integral de uma função f (x , y) em uma região R, usamos o Teorema de Fubini.

Sendo R = [a , b] x [c , d], temos que:

$\int\limits^d_c \int\limits^a_b {f(x,y)} \, dxdy$

Com f(x ,y) = x²y³ e R = [-1 , 2] x [0 , 1], nossa integral dupla fica assim:

$\int\limits^1_0 \int\limits^2_{-1} {x^{2}y^{3 } \, dxdy$

Primeiro passo:

Calcular a integral de dentro em relação a x.

$\int\limits^2_{-1} {x^2y^3} \, dx$      

Como a integral é em relação a x, tratamos qualquer outra variável como constante, colocando-a para fora da integral.

$y^3\int\limits^2_{-1} {x^2} \, dx = y^3 [\frac{x^3}{3}]\left \{ {{2} \atop {-1}} \right. = y^3 [\frac{2^3}{3} - \frac{-1^3}{3} ] = 3y^3$

Segundo passo:

Calcular a segunda integral com a função resultante da primeira integração.

$\int\limits^1_0 {3y^3} \, dy = 3(\frac{y^4}{4})\left \{ {{1} \atop {0}} \right. = 3\frac{1^4}{4} = \frac{3}{4}$

Entenda mais sobre integração acessando: https://brainly.com.br/tarefa/51033932