Question

a²-4b²+8a+12b+7 alguém sabe fatorar essa expressão? desde já agradeço.

Answer 1

Olá!

Expressão: $a^2-4b^2+8a+12b+7$

Primeiro, organizando os termos com mesma incógnita:
$a^2-4b^2+8a+12b+7 \\ \\ a^2+8a-4b^2+12b+7$

Num trinômio perfeito temos a seguinte estrutura:
$(x+y)^2 = x^2+ 2xy+y^2$
$(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2$

Agora, irei utilizar a ideia de trinômio quadrado perfeito com a incógnita a e b, adicionando e subtraindo 16 da expressão. Observe:
$a^2+8a-4b^2+12b+7 \\ \\ a^2+8a+16 - 4b^2+12b+7-16 \\ \\ a^2+8a+16-4b^2+12b-9 \\ \\ a^2 + 2 \cdot 4a+4^2-(4b^2-12b+9) \\ \\ a^2+2 \cdot 4a + 4^2-((2b)^2- 2 \cdot 2b \cdot 3+ 3^2) \\ \\ (a+4)^2-(2b-3)^2$

Uma diferença entre quadrados pode ser representada da seguinte forma:
$(x+y) \cdot (x-y)= x^2-y^2$

Por fim, podemos converter a diferença entre os quadrados que encontramos anteriormente em uma multiplicação. Observe:
$(a+4)^2-(2b-3)^2 \\ \\ ((a+4)+(2b-3)) \cdot ((a+4)-(2b-3)) \\ \\ (a+4+2b-3) \cdot (a+4-2b+3) \\ \\ (a+2b+1) \cdot (a-2b+7)$

Portanto, poderemos reescrever a expressão inicial como:
$\boxed{\boxed{a^2-4b^2+8a+12b+7= (a+2b+1) \cdot (a-2b+7)}}$