Question

a soma dos quadrados das raizes da equação x^4-20x^2+64=0 sendo que o resultado final é igual a 40

Answer 1

Olá Girl,

dada a equação biquadrada,

$x^{4}-20 x^{2} +64=0$

vamos fatora-la:

$( x^{2} )^2-20 x^{2} +64=0$

usando uma variável auxiliar, fazendo,

$x^{2} =k$  , teremos:

$(k)^2-20(k)+64=0\\ k^2-20k+64=0$

$\Delta=b^2-4ac\\ \Delta=(-20)^2-4*1*64\\ \Delta=400-256\\ \Delta=144$

$k= \dfrac{-b\pm \sqrt{\Delta} }{2a}\\\\ k= \dfrac{-(-20)\pm \sqrt{144} }{2*1}= \dfrac{20\pm12}{2}=\begin{cases}k'= \dfrac{20-12}{2}=\dfrac{8}{2}=4\\\\ k''= \dfrac{20+12}{2}=\dfrac{32}{2}=16 \end{cases}$

Retomando a variável original, para k=4 e k=16, teremos:

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~x^{2} =k~\\\\ x^{2} =4~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ x^{2}=16 \\ x=\pm \sqrt{4}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~x=\pm \sqrt{16} \\ x=\pm2~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~x=\pm4$

Somando os quadrados das raízes da equação polinomial de 4º grau, teremos:

$S=(x')^2+(x'')^2+(x''')^2+(x'''')^2\\ S=2^2+(-2)^2+4^2+(-4)^2\\ S=4+4+16+16\\ S=40$

Espero ter ajudado e tenha ótimos estudos =))