Question

A função f(x) = $\frac{1- x^{2} }{2-2x+ x^{2} }$ é positiva se, e somente se, x pertence ao intervalo:
a) (-1, 1)
b) (-1, 1]
c) [-1, 1]
d) (- ${\infty}$, -1) U (1, +${ \infty}$)
e) (-${\infty}$, -1] U [1, +${\infty}$

Answer 1

 f(x) =  

      2 - 2x + x^2 = 0      D = R

        1 - x^2 =0
           - x^2 = - 1(-1)
             x^2 = 1
              x = +/- 1
  
                    - 1            1      
                    + |   -         |  -       
                  +   |    +       |   -     
                  +        -           +

       V = { x ∈ R / - 1 < x < 1 }    ou  ( - 1 ; 1 )

Answer 2

Para ser positivo o número precisa ser maior que zero,mas começaremos a solução igualando f(x) a zero, teremos: 1-x^2=0 , x^2=1, x=+-1,mas como o valor deve ser maior que zero: x maior que -1 e x menor que 1

Poderemos tentar igualar o denominador a zero para ver os resultados a serem excluidos ou jogar os números do intervalo anterior: X=1;   1^2-2.1 +2=1 ; 
x= -1;  (-1)^2 -2.-1+2= 1+2+2=5 ,vimos que o intervalo torna a fração como um todo positiva, agora vamos testar o infinito negativo(chamei de -A) e o infinito positivo(chamei de A),beleza 1-(-A)^2= -A,  1-(A)^2=-A  

para o denominador: basta fazer a substituição em x^2,pois como se trata de infinto será a única parte que fará diferença na equação: (-A)^2=A ; (A)^2=A,ou seja,tanto -A quanto A não satisfazem a premissa de f(x),logo a resposta é  (a),lembrando que chave fecha e colchete abre o intervalo.