Question

A função f(x)=ax^2+bx+cf(x)=ax2+bx+c tem vértice no ponto (2,6)(2,6) e uma raiz no ponto x=5x=5. Determine a expressão de ff (ou, em outras palavras, determine os valores dos coeficientes a\text{, }b\text{ e }c)

Answer 1

Olá!
 
     O vértice é dado por   $\left(-\dfrac{b}{2a},-\dfrac{\Delta}{4a}\right).$

Daí,


$(2,6)=\left(-\dfrac{b}{2a},-\dfrac{\Delta}{4a}\right)\Rightarrow -\dfrac{b}{2a}=2\;\;\text{e}\;\;-\dfrac{\Delta}{4a}=6\Rightarrow \\ \\ \\ \Rightarrow b=-4a\;\;\text{e}\;\;\Delta=-24a.\;\;\text{Mas,}\;\;\Delta=b^2-4ac\Rightarrow\\ \\ \Rightarrow \Delta = (-4a)^2-4ac=-24a\Rightarrow (-4a)^2-4ac+6\cdot 4a=0\Rightarrow \\ \\ \Rightarrow 4a(4a-c+6)=0\overset{a\neq 0}{\Longrightarrow} \;4a-c+6=0\Rightarrow c = 4a+6.$


    Agora, x = 5 é raiz. Então,

$f(5)=0\Rightarrow a\cdot (5)^2+b\cdot 5+c=0\Rightarrow 5(5a+b)+c=0\Rightarrow \\ \\ \Rightarrow c=-5(5a+b).\\ \\ \text{Da\'{\i},}\\ \left\{\begin{array}{lcr}c&=&4a+6\\ c&=&-5(5a+b) \end{array}\right.\Rightarrow 4a+6=-5(5a+b)\Rightarrow 29a+5b=-6.\\ \\ \text{Mas, b=-4a . Logo,}\\ \\ 29a+5(-4a)=-6\Rightarrow 9a=-6\Rightarrow a=-\dfrac{6}{9}=-\dfrac{2}{3}.\\ \\ \text{Ent\~ao,}$

$b=-4\cdot \left(-\dfrac{2}{3}\right)\Rightarrow b = \dfrac{8}{3}.\\ \\ \\ \text{E}\\ \\ c = 4a+6\Rightarrow c = 4\cdot\left(-\dfrac{2}{3}\right)+6 = \dfrac{-8+18}{3}=\dfrac{10}{3}.\\ \\ \\ \therefore\;\;a=-\dfrac{2}{3},\;b=\dfrac{8}{3}\;\;\text{e}\;\;c=\dfrac{10}{3}.$



Bons estudos!

Answer 2

A expressão de f é $\boxed{f(x)=\frac{-2x^2+8x+10}{3}}$.

Como x = 5 é uma raiz da função f(x) = ax² + bx + c, então f(5) = 0.

Ou seja,

a.5² + b.5 + c = 0

25a + 5b + c = 0.

Além disso, temos a informação de que o vértice da função é o ponto (2,6). O vértice da parábola é definido como $V=(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a})$.

Sendo assim, temos que:

$-\frac{b}{2a}=2$

b = -4a

e

$-\frac{\Delta}{4a}=6$

b² - 4ac = -24a.

Como b = -4a, então:

25a + 5.(-4a) + c = 0

25a - 20a + c = 0

5a + c = 0

c = -5a.

Substituindo os valores de b e c em b² - 4ac = -24a:

(-4a)² - 4a(-5a) = -24a

16a² + 20a² + 24a = 0

36a² + 24a = 0

12a(3a + 2) = 0

a = 0 ou a = -2/3.

O valor de a não pode ser 0, pois a função é do segundo grau. Então, a = -2/3.

Portanto, b = 8/3 e c = 10/3 e a função é $\boxed{f(x)=\frac{-2x^2+8x+10}{3}}$.

Para mais informações sobre função do segundo grau, acesse: https://brainly.com.br/tarefa/58428