Question

A figura mostra um pentágono abcd tal que AB = 4 BC = 8 CD = 1 AE = 4 ​

Answer 1

Há 5 formas de formar um triângulo isósceles.

Se AE = 4, então a projeção de EC sobre BC vale 4, como CD = 1, temos que o triângulo retângulo EDF (F é um ponto suporte) tem catetos 3 e 4, logo:

ED² = 3² + 4²

ED = 5

Para que PDE seja isósceles, temos que PD = ED, EP = ED ou PD = PE. Sobre AB, o menor valor de PE é 4 (quando P = A) e o maior é 4√2 (quando P = B), então, há apenas uma forma que criamos um triângulo isósceles sobre AB. Sobre BC acontece o mesmo, mas duas vezes.

Sobre AB, é impossível que PD = ED. Sobre BC, o menor valor de PD é 1 e o maior é √65, logo, um triângulo isósceles acontece uma vez.

Como 4 < PE < 4√2 e 1 < PD < √73, em algum ponto, PD será igual a PE. Ao total, temos 5 formas de formar um triângulo isósceles.

Resposta: E