Question

A equação 4x² + bx + c = 0 tem como raízes os números -5 e 2. então, o valor de b + c é igual a:
$a) \: 28.$
$b) \: -28.$
$c) \: 14.$
$d) \: -14.$
​

Answer 1

Resposta:

b) $-28$

Explicação passo a passo:

Para uma equação do segundo grau $ax^2+bx+c=0$ com raízes $x_1$ e $x_2$, vale que:

$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$

$x_1\cdot{x_2}=\dfrac{c}{a}$

Portanto, isolando os termos $b$ e $c$, temos: $b=-a(x_1+x_2)$ e $c=ax_1x_2$, o que nos dá $b+c=-a(x_1+x_2)+ax_1x_2$.

Nossa equação é $4x^2+bx+c=0$ e sabemos que as raízes são $x_1=-5$ e $x_2=2$. Assim, é só substituir:

$b+c=-4(-5+2)+4\cdot(-5)\cdot2 \\ b+c=20-8-40 \\ b+c=-28$

Answer 2

Considerando as fórmulas da soma e multiplicação das raízes, concluímos que b + c = -28  ⇒ Alternativa b)

→ Uma equação do 2° grau é do tipo ax² + bx + c = 0, com a ≠0, e com a, b, c chamados coeficientes.

Como as raízes dessa questão já foram calculadas, podemos utilizar as fórmulas abaixo:

$\large Soma~ das~ raizes \Rightarrow x_1 + x_2 = \dfrac{-b}{a}$

$\large Multiplicac\tilde{a}o~das~raizes \Rightarrow x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a}$

Dada a equação, temos

$\large a = 4$

$\large x_1 = -5$

$\large x_2 = 2$

Considerando a fórmula da soma:

$\large -5 + 2 = \dfrac{-b}{4}$

$\large -3 = \dfrac{-b}{4}$

$\large -3 ~\cdot~4= -b$

$\large -12 = -b$     Multiplicando os dois membros por -1

$\large \boxed{b = 12}$

Considerando a fórmula da multiplicação:

$\large -5 \cdot 2 = \dfrac{c}{4}$

$\large -10 = \dfrac{c}{4}$

$\large -10 \cdot 4 = c$

$\large \boxed{c = -40}$

Portanto a soma equivale:

$\large b+c = 12 +(-40)$

$\large \text { \boxed{\boxed{b+c = -28}} }$   ⇒ Alternativa b)

   

Estude mais sobre Equações do 2º grau:

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