Question

8) Determine a distância entre o ponto P(2, - 3) e a reta de equação:

a) y = - x + 2 b) -13x + y – 2 = 0 c) y = 5x – 12 

​

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

A fórmula para calcular a distância entre o ponto e a reta é dada por

    $d=\frac{|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$

onde a, b e c pertencem à reta ax + by + c e  x₀ e y₀ pertencem ao ponto

P (x₀, y₀)

a) y = -x + 2  ;  P (2, -3)

   -x - y + 2 = 0

   temos: x = 2, y = -3, a = -1, b = -1, c = 2

        $d=\frac{|-1.2+(-1).(-3)+2|}{\sqrt{(-1)^{2}+(-1)^{2}}}$

        $d=\frac{|-2+3+2|}{\sqrt{1+1}}$

        $d=\frac{|3|}{\sqrt{2}}$

        $d=\frac{3}{\sqrt{2}}$

        $d=\frac{3}{\sqrt{2}}.\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

        $d=\frac{3\sqrt{2}}{2}$

=======================================================

b) -13x + y - 2 = 0 ; P (2, -3)

   temos: x = 2, y = -3, a = -13, b = 1, c = -2

        $d=\frac{|-13.2+1.(-3)+(-2)|}{\sqrt{(-13)^{2}+1^{2}}}$

        $d=\frac{|-26-3-2|}{\sqrt{169+1}}$

        $d=\frac{|-31|}{\sqrt{170}}$

        $d=\frac{31}{\sqrt{170}}$

        $d=\frac{31}{\sqrt{170}}.\frac{\sqrt{170}}{\sqrt{170}}$

        $d=\frac{31\sqrt{170}}{170}$

=======================================================

c) y = 5x - 12 ; P (2, -3)

   5x - y - 12 = 0

   temos: x = 2, y = -3, a = 5, b = -1, c = -12

        $d=\frac{|5.2+(-1).(-3)+(-12)|}{\sqrt{5^{2}+(-1)^{2}}}$

        $d=\frac{|10+3-12|}{\sqrt{25+1}}$

        $d=\frac{|1|}{\sqrt{26}}$

        $d=\frac{1}{\sqrt{26}}$

        $d=\frac{1}{\sqrt{26}}.\frac{\sqrt{26}}{\sqrt{26}}$

        $d=\frac{\sqrt{26}}{26}$

Answer 2

Explicação passo-a-passo:

item - A

y = - x + 2

igualando a zero...

- x + 2 = 0

Sabendo que P ( x , y ) = ( 2 , - 3)

a = - 1

b = 0

c = 2

Fórmula da distância do ponto a reta é determinada pela fórmula abaixo:

D = |ax + by + c | / √(a² + b²)

calculando diretamente...

D = | - 2 + 2 | / √1

D = | 0 | / 1

D = 0 / 1 = 0

item - B

-13x + y – 2 = 0

a = - 13

b = 1

c = - 2

x = 2

y = - 3

D = | - 26 - 3 - 2 | / √( 169 + 1)

D = | - 31 | / √170

D = 31 / √170

Racionalizando...

D = 31 . √170 / √170 . √170

D = 31 √170 / 170

item - C

5x - 12 = 0

a = 5

b = 0

c = - 12

x = 2

y = - 3

D = | 10 - 12 | / √25

D = | - 2 | / 5

D = 2 / 5