Question

6A razão entre a área do quadrado inscrito em um semicírculo de raio R e a área do quadrado inscrito em um círculo de raio R é:ABCD2223242527E

Answer 1

Vamos imaginar o quadrado inscrito no semi círculo, sabemos que ele precisa estar centralizado com a reta do semi círculo, então é possível formar um triângulo retângulo a partir do centro dessa reta, onde:

hipotenusa = raio = R

cateto 1 = lado do quadrado x

cateto 2 = meio lado do quadrado x/2

Como hip² = cat² + cat², temos:

R² = x² + (x/2)²

R²= x² + x²/4

R² = 5x²/4

Área do quadrado é igual a x², então:

x² = 4R²/5

Agora, imaginando o quadrado inscrito em um círculo, sabendo que o quadrado deve estar centralizado com o centro da circunferência, então o triângulo retângulo que é possível formar a partir do centro possui:

hipotenusa = raio = R

cateto 1 = meio lado do quadrado x/2

cateto 2 = meio lado do quadrado x/2

Como hip² = cat² + cat², temos:

R² = (x/2)² + (x/2)²

R² = x²/4 + x²/4

R² = 2x²/4

Área do quadrado é igual a x², então:

x² = 4R²/2

Desse modo a razão entre a área do quadrado inscrito no semi círculo e no círculo é:

razão = (4R²/5) / (4R²/2)

razão = 4R²/5 x 2/4R²

razão = 2/5

Resposta: (D) 2/5