Question

12. (fuvest 2011) a) quantos são os números inteiros positivos de quatro algarismos, escolhidos sem repetição, entre 1, 3, 5, 6, 8, 9? b) dentre os números inteiros positivos de quatro algarismos citados no item a), quantos são divisíveis por 5? c) dentre os números inteiros positivos de quatro algarismos citados no item a), quantos são divisíveis por 4

Answer 1

Utilizando o Princípio Fundamental da Contagem, pode-se descobrir que:

• a) 360 são os números possíveis de 4 algarismos formados com 1, 3, 5, 6, 8, e 9, sem repetição;
• b) 60 são os números divisíveis por 5;
• c) 60 são os números divisíveis por 4.

Princípio Fundamental da Contagem

Esta é uma questão de Análise combinatória e que pode ser resolvido através do Princípio Fundamental da Contagem. Temos um total de 6 algarismos que devem ser escolhidos sem repetição para formar números de 4 algarismos. Logo, o total de números possíveis é dado por:

6 × 5 × 4 × 3 = 360

Assim, descobrimos que 360 são os números possíveis de 4 algarismos formados com 1, 3, 5, 6, 8, e 9, sem repetição. Agora queremos saber quantos destes números são divisíveis por 5. Os números divisíveis por 5 serão apenas aqueles que terminam em 5, logo o 5 precisa estar na última posição. Assim, sobram outros 5 números para as demais posições, então:

5 × 4 × 3 = 60

Deste modo, descobrimos que são 60 números divisíveis por 5. Agora queremos saber quantos são divisíveis por 4. Números divisíveis por 4 são aqueles que terminam em números divisíveis por 4. Temos 5 possibilidades de isto acontecer, que são números terminados em 16, 36, 56, 68 e 96. Note que nos 5 casos nos restam 4 algarismos para serem utilizados nas duas casas restantes. Logo:

4 × 3 × 5 = 60

Descobrimos assim, que 60 são os números divisíveis por 4.

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