Question

سید 10 18. Sejam a e b inteiros positivos tais que a + 26 múltiplo de beb+ 2 é múltiplo de a. Qual é o maior valor possível para a + b? 2 (A) (B) 4 (C) 6 (D) (E) C 10 14 S​

Answer 1

O maior valor para a soma entre "a" e "b" é igual a 10

Múltiplos

Quando temos um número inteiro dividindo outro número e ele nos fornece um valor inteiro

Como resolvemos?

Primeiro: Dados da questão

• "a e b inteiros positivos"
• Logo, eles são maiores do que zero

• "a + 26 múltiplo de b e b+ 2 é múltiplo de a"
• Assim escrevemos como:

$\frac{a+2}{b} ;\frac{b+2}{a}$

• Para fornecer números inteiros teremos:
• a + 2 ≥ b
• b + 2 ≥ a

• Iremos isolar o "b", na segunda linha, assim:
• b + 2 ≥ a
• b ≥ a -2

• Relacionando a primeira linha com a segunda:
• a + 2 ≥ b
• b ≥ a -2

• Assim, os valores de "b" estará entre:
• a + 2 ≥ b ≥ a -2  

• Diminuindo (a) de todos os lados, teremos:
• a + 2 -a ≥ b - a ≥ a -2 - a
• 2 ≥ b - a ≥  -2

• Assim os valores que podemos ter será entre -2, -1 , 0, 1 e 2
• Porém "a" e "b" são inteiros positivos, logo, iremos ignorar os valores negativos

Segundo: Como testar os valores ?

• Iremos usar as duas fórmulas da primeira parte

$\frac{a+2}{b} ;\frac{b+2}{a}$

• Iremos fazer para o primeiro caso b - a = 0

• Os valores que podemos supor tem que estar relacionado com a soma de "a + b" igual as alternativas
• Assim, iremos testar os pares (1,1), (2,2), (3,3), (5,5), (7,7)

Para (1,1): $\frac{1+2}{1}= 3; \frac{1+2}{1}= 3$

Para (2,2): $\frac{2+2}{2}=\frac{4}{2}=2;\frac{2+2}{2}=\frac{4}{2}=2$

Para (3,3): $\frac{3+2}{3}=\frac{5}{3}=1,67 ;\frac{3+2}{3}=\frac{5}{3}=1,67$

Para (5,5): $\frac{5+2}{5}=\frac{7}{5}=1,4 ; \frac{5+2}{5}=\frac{7}{5}=1,4$

Para (7,7): $\frac{7+2}{7}=\frac{9}{7}=1,28 ; \frac{7+2}{7}=\frac{9}{7}=1,28$

• Logo, para a condição de b - a = 0, teremos o maior valor de "a" e "b" como a=b=2, somando sendo igual a 4

Testando para b - a = 1

• Iremos tentar escrever pares que sua subtração de o valor igual a 1

• Assim teremos: (1,2), (2,3),(3,4), (4,5),(5,6), (6,7),(7,8)

• Note que, neste caso somamos os valores de "a" e "b" nos pares acima, não iremos conseguir número pares, somente ímpares

• (1,2): 3
• (2,3): 5
• (3,4): 7
• (4,5): 9
• (5,6): 11
• (6,7): 13
• (7,8): 15

• Logo b - a não pode ser igual a 1

Testando para b - a = 2

• Os valores que podemos supor tem que estar relacionado com a soma de "a + b" igual as alternativas

• Assim, iremos testar os pares (1,3), (2,4), (4,6), (6,8)

• Note que a soma deles será igual as alternativas

• (1,3): 4
• (2,4): 6
• (4,6): 10
• (6,8): 14

• Testando os pares:

Para (1,3):  $\frac{1+2}{3}=\frac{3}{3}=1;\frac{3+2}{1}=\frac{5}{1}=5$

Para (2,4): $\frac{2+2}{4}=\frac{4}{4}=1;\frac{4+2}{2}=\frac{6}{2}=3$

Para (4,6): $\frac{4+2}{6}=\frac{6}{6}=1 ;\frac{6+2}{4}=\frac{8}{4}=2$

Para (6,8): $\frac{6+2}{8}=\frac{8}{8}=1 ;\frac{8+2}{6}=\frac{10}{6}=1,667$

• Logo o maior valor que "a + b" pode ser é igual ao par (4,6)

a=4 e b=6 ou ao inverso a=6 e b=4

Portanto somando os dois valores temos:

4 + 6 = 10

Assim, o maior valor da soma é igual a 10

Veja essa e outras questões sobre múltiplos em: https://brainly.com.br/tarefa/38274711

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