Question

1. Suponha que um departamento tenha 60 homens e 15 mulheres. Quantas maneiras de formar um comitê com
seis membros são possíveis:
(a) se deve ter pelo menos uma mulher e um homem?
(b) se ele deve ter o mesmo número de homens e mulheres?

Answer 1

(a) É possível formar comitês com seis membros de 151290685 maneiras diferentes contendo pelo menos uma mulher e um homem.

(b) É possível formar comitês com seis membros de 15570100 maneiras diferentes contendo o mesmo número de homens e mulheres.

Para responder essa questão, precisamos entender mais sobre combinações em análise combinatória.

O que é uma combinação?

• Estudada na análise combinatória, é um dos tipos de agrupamento possível;
• É usada para descobrirmos a quantidade de subconjuntos que conseguimos formar com os elementos de um conjunto maior;
• Nela, a ordem dos elementos não é importante, ou seja, o grupo (A,B,C) é o mesmo do grupo (C,A,B);
• Sua fórmula é dada por:

          $C^{n}_k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Na questão, é dado um conjunto de 60 homens e 15 mulheres e é perguntado de quantas maneiras é possível formar um comitê com seis membros:

(a) Com pelo menos uma mulher e um homem

Nessa situação, precisamos analisar as possibilidades de se formar um grupo com pelo menos um homem e uma mulher. Elas seriam:

• 1 homem e 5 mulheres
• 2 homens e 4 mulheres
• 3 homens e 3 mulheres
• 4 homens e 2 mulheres
• 5 homens e 1 mulher

Diante disso, podemos perceber que as únicas combinações que não podem ser consideradas são as de seis homens ou seis mulheres. Então, para reduzir o número de contas, iremos descobrir o total de combinações possíveis e subtrair pelas combinações que não podem ser consideradas:

• Para o total de combinações possíveis, aplicaremos a fórmula considerando o grupo total de pessoas (homens + mulheres):

         $\frac{75!}{6!(75-6)!} = 201359550$      

• Agora faremos o cálculo considerando apenas homens e, em seguida, apenas mulheres:

        $\frac{60!}{6!(60-6)!} = 50063860$

        $\frac{15!}{6!(15-6)!} = 5005$

• Então, somamos essas combinações e subtraímos do total:

       $50063860 + 5005 = 50068865$

       $201359550 - 50068865 = 151290685$

Assim, podemos concluir que, com no mínimo um homem e uma mulher, é possível formar 151290685 comitês diferentes.

(b) Com o mesmo número de homens e mulheres

Nessa situação, só teríamos uma possibilidade: um grupo formado por três mulheres e três homens. Então, aplicando a fórmula, teríamos:

$\frac{60!}{3!(60-3)!}$ × $\frac{15!}{3!(15-3)!}$    (produto entre a combinação de homens e mulheres)

Resolvendo a operação obtemos o resultado de 15570100 comitês possíveis.

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#SPJ1