Question

Determine o domínio de cada função: a) f(x)= raiz de 3x-5 b) g(x)= 7 dividido por 2x - 6 c) h(x)= 1+x dividido por raiz de 6-3x d) m(x)= raiz de x-4 dividido por x-2 e) n(x)= 2 dividido por raiz de x - 3 f) p(x)= 5 dividido por raiz de x ao quadrado - 4x

Answer 1

Explicação passo a passo:

O domínio de uma função são os valores que a incógnita x pode assumir.

a) $f(x)=\sqrt{3x-5}$

Veja que a função é uma raiz quadrada. No campo dos reais, não existe raiz quadrada de números negativos, então, ao colocarmos um valor para x, o resultado precisa ser maior ou igual a zero, nunca negativo.

$3x-5\geq 0\\\\3x\geq 5\\\\x\geq \frac{5}{3}$

Então, o domínio dessa função são os número reais maiores ou iguais a $\frac{5}{3}$. Matematicamente: $D=\{x\in \Re / x\geq \frac{5}{3} \}$ (X pertence aos reais tal que x é maior ou igual a 5/3).

b) $g(x)=\frac{7}{2x-6}$

Nessa função, a incógnita está no denominador. Sabemos que, em uma fração, o denominador (o de baixo) não pode ser zero, pois divisões por 0 não estão definidas nos reais. Vamos primeiro descobrir qual o valor que zera a equação do denominador:

$2x-6=0\\\\2x=6\\\\x=\frac{6}{2}\\\\x=3$

Ou seja, se x for igual a 3, a função do denominador é zero, o que não queremos. Então x precisa ser diferente de 3.

$D=\{x \in \Re/x\neq 3\}$ (x pertence aos reais tal que x é diferente de 3).

c) $h(x)=\frac{1+x}{\sqrt{6-3x} }$

A incógnita x está no numerador e no denominador. Para o numerador não há restrições. X pode ser qualquer número, inclusive zero e números negativos.

Para o denominador, temos uma raiz quadrada. Como vimos nas questões anteriores, o denominador não pode ser zero ou negativo (por causa da raiz), então ele precisa ser maior do que zero.

$6-3x > 0\\\\-3x > -6\\\\x > \frac{-6}{-3} =\frac{6}{3} \\\\x > 2$

Ou seja, para que denominador seja positivo e maior do que zero, x precisa ser maior do que 2.

$D=\{x \in \Re/x > 2\}$ (x pertence aos reais tal que x é maior do que dois).

d) $m(x)=\frac{\sqrt{x-4} }{x-2}$

Vamos olhar primeiro para o numerador.  No numerador temos uma raiz, então o resultado precisa ser positivo, maior ou igual a zero.

$x-4\geq 0\\\\x\geq 4$

Agora, no denominador, o resultado precisa ser diferente de zero. Vamos descobrir qual valor zera o denominador:

$x-2=0\\\\x=2$

Então no denominador, x precisa ser diferente de 2.

Juntando as duas análises, temos que x precisa ser diferente de 2 e maior ou igual a 4. Então:

$D=\{x\in\Re/x\geq 4\}$ (x pertence aos reais tal que x maior ou igual a quatro).

e) $n(x)=\frac{2}{\sqrt{x-3} }$

A incógnita está dentro de uma raiz no denominador, então o resultado precisa ser positivo e maior do que zero.

$x-3 > 0\\\\x > 3$

$D=\{x\in\Re/x > 3\}$ (x pertence aos reais tal que x é maior do que 3).

f) $p(x)=\frac{5}{\sqrt{x^2-4x} }$

A incógnita está dentro de uma raiz no denominador. Então, como já vimos, o resultado precisa ser positivo e maior do que zero. Porém a equação é uma de segundo grau. Para começar essa análise, vamos primeiro usar Bhaskara pra descobrir as raízes dessa função quadrática:

$x^2-4x=0\\\\\Delta=(-4)^2*4a*0\\\\\Delta=16\\\\\frac{-b\pm\sqrt{\Delta} }{2a} \\\\\frac{-(-4)\pm\sqrt{16} }{2*1}\\ \\\frac{4\pm4}{2} \\\\x_1=\frac{4+4}{2}=\frac{8}{2}=4\\ \\ x_2=\frac{4-4}{2}=\frac{0}{2} =0$

Ou seja, 4 e 0 são as raízes da função. Como já sabemos que o resultado não pode ser zero, x precisa ser diferente de 4 e 0.

Porém, o resultado não pode ser negativo. Vou deixar uma imagem em anexo mostrando como fiz a análise dos resultados negativos dessa função.

Pela análise, temos que:

$D=\{x\in\Re/0 > x > 4\}$ (x pertence aos reais tal que x é menor do que 0 e maior do que 4).