Question

( 1 + sen*4 x - 2sen*2 x) . ( 1 + tg*2 x)

Answer 1

$(1 + \sin(4x) - 2 \sin(2x) ) \times (1 + \tan(2x) )$

Primeiro aplicar a propriedade distributiva:

$1(1 + \tan(2x) ) + \sin(4x) \times (1 + \tan(2x) ) - 2 \sin(2x) \times (1 + \tan(2x) ) =$

Aplicar a propriedade distributiva onde for necessário e usar fórmulas trigonométricas conhecidas:

$1 + \frac{ \sin(2x) }{ \cos(2x) } + \sin(4x) + \sin(4x) \times \tan(2x) - 2 \sin(2x) - 2 \sin(2x) \times \tan(2x)$

O próximo passo é simplificar usando as fórmulas

$\sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x)$

e

$\tan(x) = \frac{ \sin(x) }{ \cos(x) }$

. Então:

$1 + \frac{ \sin(2x) }{ \cos(2x) } + \sin(4x) + 2 \sin(2x) \cos(2x) \times \frac{ \sin(2x) }{ \cos(2x) } - 2 \sin(2x) - 2 \sin(2x) \times \frac{ \sin(2x) }{ \cos(2x) } =$

$1 + \frac{ \sin(2x) }{ \cos(2x) } + \sin(4x) + 2 \sin(2x) \ \sin(2x) - 2 \sin(2x) - \frac{2 \sin( {2x})^{2} }{ \cos(2x) } =$

$1 + \frac{ \sin(2x) }{ \cos(2x) } + \sin(4x) + 2 \sin(2x)^{2} - 2 \sin(2x) - \frac{2 \sin( {2x})^{2} }{ \cos(2x) } =$

O próximo passo é simplificar toda essa expressão através do cálculo do mínimo múltiplo comum.

$\frac{1}{1} + \frac{ \sin(2x) }{ \cos(2x) } + \frac{ \sin(4x) }{1} + \frac{2 \sin(2x)^{2}}{1} - \frac{2 \sin(2x) }{1} - \frac{2 \sin(2x)^{2} }{1} - \frac{2 \sin(2x)^{2} }{ \cos(2x) }$

$\frac{ \cos(2x) \times 1}{ \cos(2x) \times 1 } + \frac{ \sin(2x) }{ \cos(2x) } + \frac{ \cos(2x)sin(4x)}{ \cos(2x) \times 1} + \frac{ \cos(2x) \times 2 \sin(2x)^{2}}{ \cos(2x) \times 1} - \frac{2 \sin(2x)^{2}}{ \cos(2x) }$

Multiplicando para reorganizar a expressão:

$\frac{ \cos(2x) }{ \cos(2x) } + \frac{ \sin(2x) }{ \cos(2x) } + \frac{ \cos(2x) \sin(4x) }{ \cos(2x) } + \frac{2 \cos(2x) \sin(2x)^{2} }{ \cos(2x) } - \frac{2 \cos(2x) \sin(2x) }{ \cos(2x) } - \frac{2 \sin(2x)^{2}}{ \cos(2x) }$

Agora reescrever toda a expressão com o denominador cos(2x):

$\frac{ \cos(2x) + \sin(2x) + \cos(2x) \sin(4) + 2 \cos(2x) { \sin(2x) }^{2} - 2 \cos(2x) \sin(2x) - 2 { \sin(2x) }^{2} }{ \cos(2x) }$

Usando

$2 \sin(x) \cos(x) = 2 \sin(2x)$

vamos simplificar a expressão

$2 \cos(2x) \sin(2x)$

ficando:

$\frac{ \cos(2x) + \sin(2x) + \cos(2x) \sin(4x) + 2 \cos(2x) { \sin(2x) }^{2} - \sin(4x) - 2 { \sin(2x) }^{2} }{ \cos(2x) }$

FIM!