Question

Zilda pegou uma folha de papel quadrada de lado 1 e fez duas dobras
levando dois lados consecutivos da folha até uma diagonal da mesma, como
mostrado na figura, obtendo um quadrilátero (contorno destacado). Qual é a
área desse quadrilátero?
(A) 7/10
(B) 2 − √2
(C) 3/5
(D) √2 − 1
(E)√2/2

Answer 1

A área do novo quadrilátero formado é de √2 - 1. Letra d).

Anexei uma figura ao final desta resolução, para facilitar o entendimento.

Como podemos ver na imagem, coloquei todos os pontos de interesse. É importante frisar que aqui, mais importante do que os cálculos em si, precisamos imaginar bem como foi feita a dobradura do papel, para que possamos identificar esses pontos e assim resolver a questão.

Sabemos que o lado desse quadrado vale 1, portanto teremos:

AB = AC = BC = CD = 1

E, as suas diagonais serão:

AD = BC = 1*√2 = √2

Agora vamos olhar para o resultado à direita. Vemos claramente que a altura dos dois triângulos superiores (triângulos 1 e 2) é exatamente AB e AC, logo:

h1 = h2 = AB' = AC' = AB = AC = 1

Agora a altura dos dois triângulos inferiores (3 e 4) não corresponde a C'D e B'D, pois basta imaginarmos o papel sendo dobrado que vemos que é impossível isso ser verdade. Contudo as medidas CD e BD continuam presentes nessa figura, basta visualizarmos para onde foram os lados CD e BD, após a dobradura. Logo, teremos:

DF + FC' = CD = 1

DF = 1 - FC'

DE + EB' = BD = 1

Por fim, vemos que a diagonal AD permanece a mesma, logo a relação a seguir é válida:

AC' + DC' = AD = √2

Substituindo AC' encontrado anteriormente:

1 + DC' = √2

DC' = √2 - 1

Aplicando Pitágoras no triângulo 4, temos:

DF² = FC'² + DC'

Substituindo DC' e DF nessa expressão, ficamos com:

(1 - FC')² = FC'² + √2 - 1

1 - 2FC' + FC'² = FC'² + √2 - 1

1 - 2FC' = √2 - 1

2FC' = 2 - √2

FC' = (2 - √2)/2

Vale lembrar que a relação EB' = FC' também é válida, por simetria. E que h3 = h4 = DB' = DC'.

Portanto, as áreas de cada triângulo será:

A1 = h1*EB'/2 = 1*[(2 - √2)/2]/2 = (2 - √2)/(2*2) = (2 - √2)/4

A2 = h2*FC'/2 = h1*EB'/2 = (2 - √2)/4

A3 = h3*EB'/2 = [(√2 - 1)*(2 - √2)/2]/2 = (2√2 - 2 - 2 + √2)/(2*2) = (3√2 - 4)/4

A4 = h4*FC'/2 = h3*EB'/2 = (3√2 - 4)/4

No total, teremos:

A = A1 + A2 + A3 + A4 = (2 - √2)/4 + (2 - √2)/4 + (3√2 - 4)/4 + (3√2 - 4)/4

A = (2 + 2 - 4 - 4 - √2 - √2 + 3√2 + 3√2)/4 = (4√2 - 4)/4 = √2 - 1

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