Question

y=x^2-3x+2 equaçao reta tangente e reta normal P(2,0)

Answer 1

A reta tangente ao gráfico de uma função $f(x)$ (diferenciável em $x=x_{0}$) é a reta que passa por $\big(x_{0},\,f(x_{0})\big)$ com coeficiente angular $m=f'(x_{0})$

Sua equação pode ser escrita na forma

$\boxed{\boxed{y=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})}}$

Já a reta normal ao gráfico de $f$ que passa por $\big(x_{0},\,f(x_{0})\big)$ é a reta que passa por esse ponto e é ortogonal à reta tangente ao gráfico nesse ponto

Como duas retas são perpendiculares se seus coeficientes angulares, quando multiplicados, resultam -1, então a equação da reta normal pode ser escrita como

$\boxed{\boxed{y=f(x_{0})-\dfrac{1}{f'(x_{0})}(x-x_{0})}}$
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$\bullet\,\,\,$ Derivando $f$:

$f'(x)=\frac{d}{dx}(x^{2}-3x+2)\\\\f'(x)=\frac{d}{dx}(x^{2})-3\frac{d}{dx}(x)+0\\\\\boxed{\boxed{f'(x)=2x-3}}$

$\bullet\,\,\,$ Encontrando $f'(2)$:

$f'(2)=2\cdot2-3\\\\f'(2)=4-3\\\\\boxed{\boxed{f'(2)=1}}$
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Portanto, a equação da reta tangente ao gráfico de $f$ em $\big(x_{0},\,f(x_{0})\big)=(2,0)$ é dada por

$y=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})\\\\y=0+1(x-2)\\\\\boxed{\boxed{y=x-2}}$

E a equação da reta normal ao gráfico de $f$ em $\big(x_{0},\,f(x_{0})\big)=(2,0)$ é

$y=f(x_{0})-\frac{1}{f'(x_{0})}(x-x_{0})\\\\y=0-\frac{1}{1}(x-2)\\\\y=-(x-2)\\\\\boxed{\boxed{y=2-x}}$