Question

(50 pontos) Considere P(a, b) e P'(– a, –b) dois pontos antipodais que estão sobre o ciclo trigonométrico; onde P e P' são pontos do 1º e do 3º quadrantes respectivamente.

Sendo θ o ângulo que a semirreta Ox forma com o segmento OP, medido no sentido anti-horário, mostre que

os pontos P e P' são simétricos em relação a qualquer ponto Q de coordenadas Q( x, – x · cotg(θ) ), com x real.

Answer 1

Se os pontos são antípodas, então o segmento de reta que une tais pontos é igual ao diâmetro da esfera na qual estão situados os pontos. 

Imaginemos o ciclo trigonométrico como uma esfera de duas dimensões, podemos afirmar que o segmento de reta que liga tais pontos é igual ao diâmetro da circunferência. 

Como o diâmetro de uma circunferência é a maior corda que liga dois pontos situados sobre a circunferência, então essa corda passa pelo centro da circunferência. 

Sendo assim imaginemos que o segmento que une P e P' está contido na reta (r) linear de equação:

$\mathsf{r:y=m_{1}x}$

Seu coeficiente angular m, em relação ao eixo x é:

$\mathsf{m_{1}=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{b}{a}=\dfrac{sen~\theta}{cos~\theta}=tg~\theta}$

Sendo assim

$\mathsf{r:y=(tg~\theta)x}$

Por definição dois pontos são simétricos em relação a uma reta se, e somente se, esta for reta mediatriz do segmento que liga tais pontos.

Sendo assim, devemos descobrir qual é a reta mediatriz do segmento que une P e P' (segmento este que está contido em r).

Para isto, usaremos a seguinte definição:

Se duas retas são perpendiculares, então o produto entre seus coeficientes angulares deve ser igual a menos um.

Portanto:

$\mathsf{m_1\cdot m_2=-1}\\\\\mathsf{tg~\theta\cdot m_2=-1}\\\\\mathsf{m_2=-\dfrac{1}{tg~\theta}}$

Denominando a reta mediatriz de s, temos:

$\mathsf{s:y=m_2x}\\\\\mathsf{s:y=-(\dfrac{1}{tg~\theta})x}$

Lembrando que:

$\mathsf{\dfrac{1}{tg~x}=cotg~x}$

A função que representa a reta s mediatriz do segmento de reta que liga P e P' é:

$\mathsf{s:y=-(cotg~\theta)x}$

Qualquer ponto Q desta reta (s) possui coordenadas (x, -(cotg θ )x).

Como r ⊥ s, e o ponto médio do segmento que liga P e P' pertence à s, quaisquer pontos Q que estiverem sobre s são equidistantes de P e P'.

Simulação no Geogebra: https://www.geogebra.org/m/fxpFNY8j