Question

X√y +y√x=6
Yx²+xy²=20.
Alguém pode ajudar?

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

x√y+y√x=6          elevando os membros ao quadrado

x²y+y²x+2.x√y.y√x=36   sabe-se que x²y+y²x=20

20+2.x√y.y√x=36

2.x√y.y√x=36-20

2.x√y.y√x=16          dividindo os membros por 2

x√y.y√x=8

x√y.y√x=2³           elevando os membros ao quadrado

x²yy²x=2⁶

x³y³=(2²)³               extraindo a raiz cúbica em ambos os membros

xy=2²

xy=4   (I)

y=4/x   (II)

agora vamos para a outra equação

x²y+y²x=20                 colocando xy em evidência

xy(x+y)=20  (III)           substituindo (I) e (II) em (III)

4(x+4/x)=20

x+4/x=20/4

x+4/x=5                     mmc(1,x,1)=x

x²+4=5x

x²-5x+4=0

Δ=(-5)²-4.1.4=25-16=9

√Δ=3

x=[ -(-5)±3]/(2.1)=[5±3]/2

x₁=(5+3)/2=8/2=4

x₂=(5-3)/2=2/2=1

lembrando que y=4/x

para x=4 => y=4/4=1

para x=1 => y=4/1=4

S={(1,4),(4,1)}

Answer 2

Resposta:

Para resolver essa questão temos que notar que se elevar a primeira equação por 2 nos dois lados conseguimos algo curioso:

$(x . \sqrt {y} + y . \sqrt {x})^2 = 6^2$

$(x . \sqrt {y})^2 + 2 . (x . \sqrt{y}) . (y . \sqrt{x}) + (y . \sqrt {x})^2 = 36$

$x^2 . y + 2xy . \sqrt {xy} + y^2 . x = 36$

$yx^2 + xy^2+ 2xy . \sqrt {xy} = 36$

Perceba que yx^2 + xy^2 está na primeira equação, e o que tem de especial nisso? E que sabemos quanto vale isso então podemos substituir na primeira equação.

$20 + 2xy . \sqrt {xy} = 36$

$2xy . \sqrt {xy} = 36 - 20 = 16$

$xy . \sqrt {xy} = 8$

$(xy . \sqrt {xy})^2 = 8^2$

$(xy . \sqrt {xy})^2 = 8^2$

$(xy)^2 . (\sqrt {xy})^2 = 64$

$x^2 . y^2 . x . y = 64$

$x^3 . y^3 = 64$

$(xy)^3 = 64 = 4^3$

$\sqrt[3]{(x)^3} = \sqrt[3]{4^3}$

$xy = 4$

$yx^2 = x . xy = x . 4 = 4x$

$xy^2 = y . xy = y . 4 = 4y$

Se perceber esse são os termos da segunda equação então ficaremos com um sistema simples de resolver.

$yx^2 + xy^2 = 4x + 4x = 4.(x+y)$

$4 (x + y) = 20$

$x + y = 5$

$\left \{ {{x + y = 5} \atop {xy = 4}} \right.$

Esse sistema tipo de sistema bastante conhecido e a resolução é fácil, precisando saber somente como resolver uma equação do segundo grau. Mas caso não saiba como resolver so tem que pegar a equação com soma e deixar o x ou y isolados(sozinho).

$\left \{ {{y = 5 - x} \atop {xy = 4}} \right.$

$xy = 4$

$x. (5 - x) = 4$

$5x - x^2 = 4$

$5x - x^2 - 4 = 0$

$- x^2 + 5x - 4 = 0$

$x^2 - 5x + 4 = 0$

$a = 1, b = -5, c = 4$

$delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4.1.4 = 25 - 16 = 9$

$x = \frac {-b ± \sqrt{delta}}{2a} = \frac {-(-5) ± \sqrt{9}}{2. 1} = \frac {5 ± 3}{2}$

$x' = \frac {5 + 3}{2} = \frac {8}{2} = 4$

$x" = \frac {5 - 3}{2} = \frac {2}{2} = 1$

Então x é igual a 4 ou 1. Vamos ver quanto é y quando x é igual 4 e x é igual a 1. Lembrando que y = 5 - x.

x = 4 ⇒ y = 5 - 4 = 1 ⇒ (4,1)

x = 1 ⇒ y = 5 - 1 = 4 ⇒ (1,4)

S = {(1,4), (4,1)}