Question

Voce vai projetar uma piscina, de vinil, de volume igual a
15 m3
, de tal maneira que o comprimento seja uma vez e meia a
largura. Determine as dimensões que deve ter esta piscina de tal
maneira que se gaste o mínimo de vinil.
Supondo que o metro quadrado de vinil seja de 50 reais, calcule
quanto vc gastaria de vinil nesta piscina.
Obs. SEGUE ESSES ITENS E FAÇA SEPARADAMENTE.
a) Escreva a expressão da função área total;
b) Encontre sua derivada e Determine sua raiz;
c) Faça o teste do sinal da derivada;
d) Determine o comprimento, largura e profundidade
e) Determine o custo mínimo

Answer 1

Resposta:

A) y= altura ; x=comprimento e 1,5x= largura

V= h.Abase

V=y.x.1,5x

3,5= y.x.1,5x  (x.1,5x= 1,5x²) passa dividindo

$y=\frac{3,5}{1,5x^2}$    =>$y=\frac{2,33}{x^2}$  (primeira expressao)

At=(2. 1,5x.x.y)+(2.x.y)+ (1,5.x.x)

At= 3xy+2xy+1,5x²

At=5xy+1,5x² (2ªexpressao)

Substitua o y da primeira expressao na 2ª:

At=1,5x²+5x.2,33/x²

At=1,5x²+11,66/x

B) derivada: At(x)'= 1,5.2x^(2-1)+ 0.x-11,66.1/x²

At(x)'=3x-11,66/x²

iguale a derivada a zero:

3x-11,66/x²=0

3x³=11,66

x=$\sqrt[3]{11,66/3}$

x=1,57  =largura

C) testando sinal

escolher dois pontos , um antes e um depois de 1,57(qualquer um) e testar na derivada

pontos 1 e 2

At(x)'=3x-11,66/x²

At(1)'=3.1-11,66/1²= -8,66 F'<0 decrescente ate 1,57

At(x)'=3.2-11,66/(2)²= 3,08 F'>0 crescente após 1,57

ou seja, 1,57 é a largura minima

D) agora é so substituir

Comprimento =1,5.x = 1,5,1,57= 2,36m

Largura =x = 1,57

Altura= y=2,33/x² = 2,33/(1,57)²= 0,95m

E) Custo minimo:

Base (2,35.1,57).50= $184,47

Frente e tras (1,57.0,92.2).50= $149,15

laterais (2,35.0,95.2)= $223,25

TOTAL= 556,87

Explicação passo a passo: