Matemática, perguntado por fabricio1213, 1 ano atrás

Verifique se os vetores são coplanares u=(2,3,4), v=(1,4,3) e w=(2,5,4).

Soluções para a tarefa

Respondido por WillQuimica
6
( u, v, w) = produto misto, se o determinante for igual a 0 eles são coplanares 
se for  diferente de 0 não são coplanares.

para fazer o produto misto basta fazer o det:



det     2    3   4
         1    4   3 
         2    5    4       = det  -4 logo não é coplanar


iagoca: Eu me confundo com isso, colinear é o mesmo que coplanar ?? pq que eu sabia se faz isso para fazer se os vetores são colineares
WillQuimica: bem que eu saiba colinear é referente a reta e pontos,. coplanar é em vetores ortogonais em produto misto, assim aprendi na universidade quando cursei a matéria de Geometria analitica rs
iagoca: A sim verdade, colineares são para os pontos, o que achei estranho é pq a mesma forma de fazer, como nos pontos para saber se são colineares basta fazer isso como vc fez para os vetores e se der o DET = 0, para os pontos = colineares e para os vetores = coplanares, obrigado pela ajuda eu estou cursando Geometria Analitica.
WillQuimica: Por nada! precisando só falar. Geometria é lindo, gostoso de estudar, algebra linear é um inferno no começo, mas depois que pega o jeito fica fácil rs
Respondido por solkarped
2

✅ Após ter calculado o produto misto entres os referidos vetores concluímos que os vetores:

         \Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf N\tilde{a}o\:s\tilde{a}o\:Coplanares \:\:\:}}\end{gathered}$}

Sejam os vetores dados:

        \Large\begin{cases}\vec{u} = (2, 3, 4)\\\vec{v} = (1, 4, 3)\\\vec{w} = (2, 5, 4) \end{cases}

Dizemos que três vetores em R³ são coplanares se, e somente se, o produto misto desses vetores for igual a "0". Caso contrário, não são coplanares.

Calculando o produto misto entre os vetores, temos:

      \Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\left[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\right] = \vec{u}\cdot\vec{v}\wedge\vec{w} = \begin{vmatrix}2 & 3 & 4\\1 & 4 & 3\\2 & 5 & 4 \end{vmatrix}\begin{matrix}2 & 3\\1 & 4\\2 & 5 \end{matrix}  \end{gathered}$}

       \large\displaystyle\text{$\begin{gathered}= 2\cdot4\cdot4 + 3\cdot3\cdot2 + 4\cdot1\cdot5 - 3\cdot1\cdot4 - 2\cdot3\cdot5 - 4\cdot4\cdot2 \end{gathered}$}

       \Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}= 32 + 18 + 20 -12 - 30 - 32 \end{gathered}$}

       \Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}= -4 \end{gathered}$}

Portanto, o resultado do produto misto é:

             \Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\left[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\right] = -4 \end{gathered}$}

Se:

               \Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\left[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\right]\neq0 \end{gathered}$}

✅ Então, os respectivos vetores:

      \Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}N\tilde{a}o\:s\tilde{a}o\:Coplanares \end{gathered}$}

   

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