Question

Verifique , por integração, que integral de tan x dx = ln (sec x) + k

Answer 1

Resposta:

∫ tan(x) dx

∫ sen(x)/cos(x)  dx

u=cos(x)  ==>du =-sen(x) dx

∫ sen(x)/u  [-du/sen(x)]

-∫ 1/u  du

=- ln|u| + k

Sabendo que u = cos(x)

= -ln | cos(x) | + k

sec(x)=1/cos(x) ==>cos(x)=1/sec(x) =[sec(x)]⁻¹

= -ln | [sec(x)]⁻¹| + k

=(-1)*(-1)* ln| sec(x) | + k

= ln| sec(x) | + k

Answer 2

Multiplicando e dividindo a integral por sec(x) temos:

$∫ \tan(x) dx = ∫ \frac{ \sec(x). \tan(x) }{ \sec(x) } dx$

Faça u =sec(x)

du=sec(x)tan(x) dx

Substituindo temos

$∫ \frac{ \sec(x). \tan(x) }{ \sec(x) }dx = ∫ \frac{du}{u} \\ = ln( |u| ) + c = ln( | \sec(x) | ) + c$