Question

Verifique a posição de (r) 2x+3y-3=0 em relação a (λ) x²+y²-4X-8Y+7=0

Answer 1

Caso tenha problemas para visualizar a resposta pelo aplicativo, experimente abrir pelo navegador: https://brainly.com.br/tarefa/8091316

__________


Verificar a posição relativa entre a reta

$\mathsf{r:~2x+3y-3=0}$


e a curva que satisfaz a equação

$\mathsf{\lambda:~x^2+y^2-4x-8y+7=0}$

________


Vamos escrever a equação de $\mathsf{\lambda}$ na forma reduzida, por completamento de quadrados:

$\mathsf{\lambda:~x^2+y^2-4x-8y+7=0}\\\\ \mathsf{\lambda:~x^2-4x+y^2-8y=-7}\\\\ \mathsf{\lambda:~x^2-2\cdot x\cdot 2+y^2-2\cdot y\cdot 4=-7}$


Somando $\mathsf{2^2+4^2}$ aos dois lados da equação, obtemos

$\mathsf{\lambda:~\underbrace{\mathsf{x^2-2\cdot x\cdot 2+2^2}}+\underbrace{\mathsf{y^2-2\cdot y\cdot 4+4^2}}=-7+2^2+4^2}\\\\\\ \mathsf{\lambda:~(x-2)^2+(y-4)^2=-7+4+16}\\\\ \mathsf{\lambda:~(x-2)^2+(y-4)^2=13}\\\\ \mathsf{\lambda:~(x-2)^2+(y-4)^2=(\sqrt{13})^2}$


Pela última linha acima, identificamos $\lambda$ como uma circunferência com centro no ponto $\mathsf{(2,\,4)}$  e com raio $\mathsf{R=\sqrt{13}.}$

_________


Para encontrar a posição relativa entre a reta e a circunferência, calculamos a distância entre a reta e o centro da circunferência, e comparamos essa distância com o raio.


A distância da reta $\mathsf{r}$ até o centro $\mathsf{(2,\,4)}$ é

(fórmula da distância entre ponto e reta)

$\mathsf{d=\dfrac{|ax_C+by_C+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}}\\\\\\ \mathsf{d=\dfrac{|2\cdot 2+3\cdot 4-3|}{\sqrt{2^2+3^2}}}\\\\\\ \mathsf{d=\dfrac{|4+12-3|}{\sqrt{4+9}}}$

$\mathsf{d=\dfrac{|13|}{\sqrt{13}}}\\\\\\ \mathsf{d=\dfrac{13}{\sqrt{13}}}\\\\\\ \mathsf{d=\sqrt{13}=R\qquad\quad\checkmark}$


Como a distância da reta até o centro é igual ao raio da circunferência, então a reta $\mathsf{r}$ é tangente à circunferência $\lambda.$


Bons estudos! :-)


Tags:   posição relativa reta circunferência completamento de quadrados centro raio distância reta ponto geometria analítica