Question

verifique a posição das retas dadas pelas equações abaixo em relação à circuferencia de equação X² + Y² + 2x - Y + 5= 0

a:) 2x + Y - 1 = 0

b:) X - Y + 1 = 0​

Answer 1

As retas 2x + y - 1 = 0 e x - y + 1 = 0 são secantes à circunferência x² + y² + 2x - y + 5 = 0.

A reta pode ser:

• Exterior à circunferência, se a distância entre o centro e a reta for maior que a medida do raio;
• Tangente à circunferência, se a distância entre o centro e a reta for igual a medida do raio;
• Secante à circunferência, se a distância entre o centro e a reta for menor que a medida do raio.

A equação reduzida da circunferência é da forma (x - x₀)² + (y - y₀)² = r², sendo C = (x₀,y₀) o centro e r o raio.

Vamos determinar a equação reduzida da circunferência x² + y² + 2x - y + 5 = 0. Para isso, precisamos completar quadrado:

x² + 2x + 1 + y² - y + 1/4 = -5 + 1 + 1/4

(x + 1)² + (y - 1/2)² = 17/4.

Ou seja, o centro é C = (-1,1/2) e o raio é r = √17/2.

a) A distância entre C = (-1,1/2) e a reta 2x + y - 1 = 0 é igual a:

$d=\frac{|2.(-1)+1.\frac{1}{2}-1|}{\sqrt{2^2+1^2}}$

$d=\frac{|-\frac{5}{2}|}{\sqrt{5}}$

$d=\frac{5}{2\sqrt{5}}$.

Como √17/2 < 5/2√5, então a reta é secante.

b) A distância entre C = (-1,1/2) e a reta x - y + 1 = 0 é igual a:

$d=\frac{|1.(-1)-1.\frac{1}{2}+1|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}$

$d=\frac{|-\frac{1}{2}|}{\sqrt{2}}$

$d=\frac{1}{2\sqrt{2}}$.

Como √17/2 < 1/2√2, então a reta é secante.