Question

Valendo 50 pontos URGENTE!!!
Um curso de idiomas oferece turmas para iniciantes em Inglês, espanhol,alemão,italiano e japonês. 
A) De quantas formas distintas um estudante pode matricular-se em três desses cursos? 
B)De quantas formas distintas ele poderá matricular-se em três desses cursos,incluindo obrigatoriamente o de Inglês? 
 
Calcule
A- C 11,3
B- C 9, 6
C-  C 6,3
D- C 17,7- C 17,10
E-C 5,3+C 5,4+C 5,5

 

Answer 1

a) Observe que a ordem de escolha dos cursos não é importante.

Usaremos a ideia de combinação. São cinco cursos no total: inglês, espanhol, alemão, italiano e japonês.

Com isso, o número de formas distintas que um estudante pode matricular-se em três desses cursos é

$\dbinom{5}{3}=\dfrac{5!}{3!\cdot2!}=\dfrac{5!}{3!\cdot2!}=\dfrac{5\cdot4\cdot3!}{3!\cdot2!}=10$.

b) Como ele deve matricular-se no curso de inglês, vamos escolher dois entre os quatro restantes.

A resposta é $\dbinom{4}{2}=\dfrac{4!}{2!\cdot2!}=6$.


2)

a) Em geral, $C_{n,k}=\dbinom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!\cdot(n-k)!}$.

$C_{11,3}=\dbinom{11}{3}=\dfrac{11!}{3!\cdot8!}=\dfrac{11\cdot10\cdot9\cdot8!}{3!\cdot8!}=165$

b) $C_{9,6}=\dbinom{9}{6}=\dfrac{9!}{6!\cdot3!}=\dfrac{9\cdot8\cdot7\cdot6!}{6!\cdot3!}=84$

c) $C_{6,3}=\dbinom{6}{3}=\dfrac{6!}{3!\cdot3!}=\dfrac{720}{36}=20$

d) Note que, $\dbinom{n}{p}=\dbinom{n}{n-p}$.

Com isso, $C_{17,7}=C_{17,10}$, pois $17-7=10$.

Assim, $C_{17,7}-C_{17,10}=0$.

e) $C_{5,3}=\dbinom{5}{3}=\dfrac{5!}{3!\cdot2!}=10$.

$C_{5,4}=\dbinom{5}{4}=\dfrac{5!}{4!\cdot1!}=5$.

$C_{5,5}=\dbinom{5}{5}=\dfrac{5!}{5!\cdot0!}=1$.

Logo:

$C_{5,3}+C_{5,4}+C_{5,5}=10+5+1=16$.