Question

utilizando o método dos trapézios calcule a integral abaixo considerando N = 4 e quatro casas decimais ​

Answer 1

Resposta:

I = 1,6004

Answer 2

Com a definição e demonstração do método dos trapézios, temos como respostas:

• $=1.56025\dots$≈ b)1,5743

Método dos Trapézios

Seja $f : [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ uma função contínua e $T_h(f)$ represente a regra trapezoidal composta correspondente ao passo uniforme h, ou seja,

$T_h(f) = \sum_{j=0}^{n-1} \frac{h}{2} \Big [ f(x_j) + f(x_{j+1}) \Big ]$

onde $x_j = a + jh$ para $j=0,1,2,\dotsc,n$e $nh = b-a$. Agora, se f é $2k+1$ vezes diferenciável e$f^{(2k+1)}$é contínua, então existem números reais αj tais que $\alpha_j$

$I(f) - T_h(f) = \alpha_1 h^2 + \alpha_2 h^4 + \dots \alpha_k h^{2k} + O(h^{2k+1}), \quad h \rightarrow 0.$

Esta é a célebre fórmula de Euler-Maclaurin. Esta fórmula de erro é um exemplo de uma expansão de erro assintótica. É o fundamento teórico da extrapolação de Richardson. O termo de erro primário, ou seja, $\alpha_1h^2$é dominante para valores suficientemente pequenos de h. Pode ser aproximado usando a estimativa de erro de Richardson

$E_h^{\text{est}} = \dfrac{T_h - T_{2h}}{3}.$

Na verdade, temos:

$\alpha_1 h^2 = \dfrac{T_h - T_{2h}}{3} + O(h^4).$

Fórmulas exatas para αj são conhecidas, mas requerem conhecimento das derivadas de f. Em particular, temos:

$\alpha_1 = - \dfrac{1}{12} \Big[ f'(b) - f'(a) \Big].$

Esta é a origem da regra trapezoidal corrigida. Se f' estiver disponível, então calcula-se:

$CT_h(f) = T_h(f) + \dfrac{1}{12} \Big[ f'(b) - f'(a) \Big] h^2.$

Por design, a regra trapezoidal corrigida satisfaz a expansão do erro assintótico

$I(f) - CT_h(f) = \alpha_2 h^4 + \dotsc + \alpha_k h^{2k} + O(h^{2k+1}), \quad h \rightarrow 0.$

Em particular, o termo de erro primário é $O(h^4)$ em vez de $O(h^2)$. Se f' não estiver explicitamente disponível, devemos aproximar f'. Pela fórmula de Taylor, temos:

$D_h(a) = \dfrac{-3 f(a) + 4 f(a+h) - f(a+2h)}{2h} = f'(a) + O(h^2)$

e da mesma forma

$D_h(b) = \dfrac{f(b-2h) - 4f(b-h) + 3f(b)}{2h} = f'(b) + O(h^2).$

Em vez de $CT_h(f)$, podemos calcular uma aproximação, digamos

$A_h(f) = T_h(f) + \dfrac{1}{12} \Big[ D_h(b) - D_h(a) \Big] h^2.$

Como a regra trapezoidal corrigida, ela satisfará uma expansão de erro assintótica onde o termo de erro primário é:

$O(h^4)$

Podemos resolver o exercício da seguinte maneira:

$\mathrm{Aproximacoes\:da\:media\:dos\:pontos\:finais\:a\:esquerda\:e\:a\:direita:}\:$

$\displaystyle\int _a^bf\left(x\right)dx\:\text{aprox}\dfrac{\Delta \:x}{2}\left(f\left(x_0\right)+2f\left(x_1\right)+...+2f\left(x_{n-1}\right)+f\left(x_n\right)\right)$

$\mathrm{onde}\:\Delta \:x\:=\:\dfrac{b-a}{n}$

Aplicando a fórmula, teremos:

$=\dfrac{1}{8}\left(f\left(x_0\right)+2f\left(x_1\right)+2f\left(x_2\right)+2f\left(x_3\right)+f\left(x_4\right)\right)=$

$=\displaystyle\frac{1}{8}\left(\sqrt{\sin \left(1\right)+2}+2\sqrt{\sin \left(\frac{25}{16}\right)+2}+2\sqrt{\sin \left(\frac{9}{4}\right)+2}+2\sqrt{\sin \left(\frac{49}{16}\right)+2}+\sqrt{\sin \left(4\right)+2}\right)$

$=1.56025\dots$

Saiba mais sobre a regra do trapézio:https://brainly.com.br/tarefa/22072816

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