Question

(UTFPR) Os números complexos 1 mais i e 1 - 2i são raízes de um polinômio com coeficientes reais, de grau 8. O número de raízes deste polinômio, no máximo, é:

a)2
b)3
c)4
d)5
e)6

P.S.: Onde está escrito mais é o sinal de adição. Meu pc não consegue ler esse sinal.

Answer 1

Vamos lá.

Veja, amigo, que a resolução é simples.
Tem-se que os números complexos "1+i" e "1-2i" são raízes de um polinômio de grau "8". Apenas para deixar tudo mais fácil, note que um polinômio de grau "8" é aquele do tipo:

P(x) = ax⁸ + bx⁷ + cx⁶ + dx⁵ + ex⁴ + fx³ + gx² + hx + i

Agora note uma coisa: um polinômio de grau "8" terá 8 raízes (no máximo).
Ora, como já vimos que os números complexos "1+i" e "1-2i" são raízes desse polinômio, e considerando ainda que quando um número complexo é raiz então o conjugado desse mesmo número também é raiz, então teremos que as raízes complexas desse polinômio são:

"1+i",  "1-i", "1-2i" e "1+2i".

Assim, como num polinômio de grau 8 o total de raízes será também de "8" (8 raízes no máximo), e como já temos que 4 dessas raízes são complexas (que é cada número complexo com o seu respectivo conjugado), então ainda faltam 4 raízes no máximo para completar a totalidade de 8 raízes (no máximo) do polinômio da sua questão.
Logo, a resposta é:

4 <--- Esta é a resposta. Opção "c". 

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.

Answer 2

Se uma equação P(x) = 0, de coeficientes reais, apresentar uma raiz complexa (a + bi), então o conjugado deste número também será raiz de P(x), ambos com a mesma multiplicidade.
Em um polinômio P(x) com coeficientes reais e grau ímpar há, no mínimo, uma raiz real.

Logo: (1+i) e (1-2i) com seus conjulgados, respectivamente, são todos raízes, restam 4 raízes que podem ser complexas e/ou reais. Se todos foram reais então no máximo são 4 raízes. Letra c)