Question

Use o principio da indução matematica para provar a desigualdade 3^n < n! para n>6

Answer 1

Começamos por provar que a desigualdade é válida para o 1.º elemento. Uma vez que pretendemos provar para $n>6$, verificamos para $n=7$:

$3^7 = 2187 < 7! = 5040.$

Portanto, a desigualdade é válida para $n=7$.

Passamos então ao passo indutivo: admitindo que a propriedade é válida para um dado $n$, provamos que também é válida para $n+1$. Para tal, escrevemos:

$3^{n+1} = 3 \times \underbrace{3^n}_{<n!} < 3 \times n!.$

Notamos agora que pretendemos mostrar a propriedade para $n>6>2$, ou seja, temos que $n > 2 \implies n > 3 - 1 \implies n + 1 > 3$. Portanto:

$3^{n+1} < \underbrace{3}_{<n+1} \times n! < (n+1) \times n! = (n+1)!,$

como queríamos mostrar.