Question

úninove( sp) o quadrilátero abcd é um retangulo de semiperimetro igual a 8 cm e as medidas de BC e CD estão na razão de 1 para 3 como Dl mede 4 cm a soma dos ângulos A e B mostrados na figura é igual a ​

Answer 1

Vamos chamar os lados desse quadrilátero de L1 e L2. Seja L1 o lado maior e L2 o lado menor.

Sabemos que o perímetro dele será 2*L1 + 2*L2.

O semiperímetro, por outro lado, é a metade do perímetro, portanto o semiperímetro é $\frac{2L1 + 2L2}{2}$ = $\frac{2(L1 + L2)}{2}$ = $L1 + L2$

Logo, L1 + L2 = 8

O exercício fornece ainda a seguinte relação entre os lados do quadrilátero: as medidas de BC e CD estão na razão de 1 para 3. Então, sabemos que o lado CD é três vezes maior em relação ao lado BC.

Algebricamente, temos CD = 3BC.

Como chamamos de L1 o lado maior e L2 o lado menor, escrevemos L1 = 3L2, pois CD é o lado maior.

Então, temos o seguinte sistema:

$\left \{ {{L1 + L2 = 8} \atop {L1 = 3L2}} \right.$

Vamos resolver esse sistema. Basta substituir a segunda equação na primeira:

L1 + L2 = 8

3L2 + L2 = 8

4L2 = 8

L2 = 8/4

L2 = 2 cm

Como L1 + L2 = 8, então temos:

L1 + L2 = 8

L1 + 2 = 8

L1 = 8 - 2

L1 = 6 cm

A conclusão disso tudo é que os lados do quadrilátero valem 6 cm e 2 cm.

O próximo passo é calcular a tangente dos ângulos α e β. Lembrando que a tangente é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente ao ângulo, temos:

tg α = AD/DL

tg α = 2/4

tg α = 1/2

tg β = AD/CD

tg β = 2/6

tg β = 1/3

Como o exercício está pedindo a soma dos ângulos α e β, utilizamos a relação dada no enunciado:

$tg (\alpha+\beta) = \frac{tg\alpha   + tg \beta }{1 - tg\alpha*tg\beta  }$

$tg (\alpha+\beta) = \frac{1/2 + 1/3}{1 - 1/2*1/3}$

$tg (\alpha+\beta) = \frac{5/6}{1 - 1/6}$

$tg (\alpha+\beta) = \frac{5/6}{5/6}$

$tg (\alpha+\beta)$ = 1

Sabemos que o ângulo cuja tangente é 1 é o ângulo de 45° (ou π/4 rad).

Logo, concluímos que α + β = 45°, e a resposta correta é a alternativa e).

Espero ter ajudado.

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Yasmin, como parece que a resposta vai ser mesmo a da letra "e", então vamos colocar a nossa resposta. Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Tem-se: o quadrilátero ABCD é um retângulo de semiperímetro igual a 8 cm. As medidas de BC e de CD estão na razão de "1" para "3". Considerando que o segmento DL mede 4cm, então dê a soma dos ângulos "α" e "β" mostrados na figura. E para isso foi dada a fórmula de de tan(α+β) = [tan(α)+tan(β)]/ [1 - tan(α)*tan(β)].

ii) Agora vamos por parte. Veja que o perímetro (P) de um retângulo é a soma dos seus quatro lados (lembre-se de que os lados paralelos de um retângulo são iguais). Então teremos que o perímetro (P) do retângulo da sua questão será dado por:

P = AB+CD+AD+BC ----- como os lados paralelos são iguais, então poderemos chamar o lado "AB" de "CD" e chamar o lado "AD" de "BC". Assim, ficaremos com:

P = CD+CD + BC+BC ----- como "CD+CD = 2CD" e como "BC+BC = 2BC", teremos:

P = 2CD + 2BC ------ se dividirmos ambos os membros por "2" iremos ficar assim:

P/2 = 2CD/2 + 2BC/2 ----- simplificando-se teremos:

P/2 = CD + BC ----- mas veja que o perímetro dividido por "2" nada mais é do que o semiperímetro. E o enunciado da questão já deu que o semiperímetro do retângulo é igual a "8". Assim, substituindo-se "P/2" por "8", teremos:

8 = CD+BC  ----- ou, invertendo-se, o que dá no mesmo:

CD + BC = 8         . (I).

Por outro lado, temos a informação de a razão entre os lados "BC" e "CD" é igual a 1/3. Então teremos isto:

BC/CD = 1/3 ----- multiplicando-se em cruz, teremos:

3*BC = 1*CD ---- ou apenas:

3BC = CD ---- ou invertendo-se, o que dá no mesmo, teremos:

CD = 3BC        . (II).

iii) Note que ficamos com um sistema formado pelas expressões (I) e (II) e que são estas:

BC + CD = 8     . (I) .

CD = 3BC      . (II).

Vamos fazer o seguinte: substiremos, na expressão (I), o valor de "CD" por "3BC" [conforme vimos na expressão (II)]. Vamos apenas repetir a expressão (I) que é esta:

BC + CD = 8 ------ substituindo-se "CD" por "3BC", teremos:

BC + 3BC = 8 ----- como "BC+3BC = 4BC", ficaremos:

4BC = 8 ----- isolando "BC", teremos:

BC = 8/4

BC = 2 cm <---- Esta é a medida do lado BC. Assim, o lado AD, que é paralelo ao lado BC, também medirá 2 cm.

E, conforme a expressão (II), temos que CD = 3BC, então teremos que:

CD = 3*BC ----- como BC = 2 cm, então ficaremos:

CD = 3*2

CD = 6 cm <--- Esta é a medida do lado CD. E, como os lados paralelos são iguais, então o lado AB também medirá 6 cm.

iv) Agora vamos para as outras informações dadas. Foi dado que o segmento DL é igual a 4 cm. Ora, como DL mede 4 cm, então o restante (que é o segmento CL) que falta para complementar o segmento CD, medirá 2 cm, pois todo o segmento CD já sabemos que mede 6 cm. Assim: 4 cm + 2cm = 6 cm, concorda?

Dessa forma, já sabemos todos os segmentos do retângulo da sua questão. Note que temos:

AB = 6 cm; CD = 6 cm; AD = 2 cm; BC = 2 cm; DL = 4 cm.

v) Com base nas informações acima, já temos condições de saber qual é o valor da tan(α) e da tan(β), pois veja que:

tan(α) = cateto oposto/cateto adjacente do triângulo ADL (retângulo em D). Note que o cateto oposto ao ângulo α é o lado AD e o cateto adjacente ao ângulo α é o lado DL. Assim teremos que:

tan(α) = AD/DL ----- como AD mede 2cm e como DL mede 4cm, teremos:

tan(α) = 2/4 ------ simplificando-se numerador e denominador por "2", temos:

tan(α) = 1/2   <---- Este é o valor de tan(α).

tan(β) = cateto oposto/cateto adjacente do triângulo ACD (retângulo em D) . Note que o cateto oposto ao ângulo β é o lado AD e o cateto adjacente ao ângulo β é o lado CD. Assim teremos que:

tan(β) = AD/CD ----- como AD vale 2cm e como CD vale 6cm, teremos:

tan(β) = 2/6 --- simplificando-se numerador e denominador por "2", ficaremos com:

tan(β) = 1/3 <--- Este é o valor da tan(β).

vi) Finalmente, agora vamos para a soma dos ângulos α e β. Para isso, aplicaremos a fórmula de tan(a+b). Assim teremos;

tan(α+β) = [tan(α) + tan(β)] / [1 - tan(α)*tan(β)] ----- substituindo-se os valores de tan(α) e de tan(β) por seus valores já encontrados, teremos:

tan(α+β) = [1/2 + 1/3] / [1 - (1/2)*(1/3)] ----- note que "1/2+1/3 = 5/6"; e que "(1/2)*(1/3) = 1/6". Assim ficaremos com:

tan(α+β) = [5/6] / [1 - 1/6] ----- note que "1 - 1/6 = 5/6". Assim, ficaremos:

tan(α+β) = [5/6] / [5/6] ----- veja que esta divisão dá exatamente igual a "1", pois se trata de uma quantidade sendo dividida pela mesma quantidade. Logo:

tan(α+β) = 1 <----- Agora veja que a tangente é igual a "1" em todo o círculo trigonométrico apenas nos ângulos de 45º e de 225º. Mas como os ângulos α e β são ângulos agudos e menores que 45º, então é claro que a sua soma vai dar também um ângulo agudo cuja soma será no máximo igual a 45º. Assim teremos que a opção correta será a da letra "e", que diz isto:

e) 45º <---- Esta é a resposta. Opção "e".

É isso aí.

Deu pra entender bem?

OK?

Adjemir.