Question

(Unifor 2014) Em um dia num campus universitário, quando há A alunos presentes, 20% desses alunos



souberam de uma notícia sobre um escândalo político local. Após t horas f(t) alunos já sabiam do



escândalo, onde



f(t) = $\frac{A}{1 + Be^{-A . k . t}}$



k e B são constantes positivas. Se 50% dos alunos sabiam do escândalo



após 1 hora, quanto tempo levou para que 80% dos alunos soubessem desse escândalo?



a) 2 horas



b) 3 horas



c) 4 horas



d) 5 horas



e) 6 horas

Answer 1

Olá!

Primeiro temos que determinar as constantes k e B. Para isso, sabemos que no t = 0, f(0) = 0,20A = $\frac{1}{5}$A, logo:

$\frac{1}{5}A = \frac{A}{1 + Be^{-A . k . t}}$

Como $e^{0} = 1$, temos que:

$\frac{1}{5}A = \frac{A}{1 + B}$

B = 4

Agora temos que em t = 1 hora, f(1) = 0,50A = $\frac{1}{2}$A, logo:

$\frac{1}{2}A = \frac{A}{1 + 4e^{-A . k . 1}}$

$\frac{1}{2} = \frac{1}{1 + 4e^{-A . k}}$

2 = 1 + 4$e^{-A.k}$

$e^{-A.k}$ = 1/4 (Aplicando ln)

-A.k = ln (1/4)

$k = \frac{ln (1/4)}{-A}$

Agora temos que encontrar o valor onde f(t) = 0,80A:

$0,80A = \frac{A}{1 + 4e^{-A . \frac{ln (1/4)}{-A} . t}}$

$0,80A = \frac{A}{1 + 4e^{ln (1/4) . t}}$

$0,80 = \frac{1}{1 + 4e^{ln (1/4) . t}}$

$1 + 4e^{ln(1/4) . t} = 1,25$

$e^{ln(1/4) . t} = \frac{(1,25-1)}{4}$ = 0,0625 (Aplicando exponencial)

ln(1/4) . t = ln(0,0625)

t = 2 horas

Portanto, a alternativa correta é a A.

Bons estudos!